1 Treść dzisiejszego wykładu l Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) l Współczynnik determinacji l Koincydencja l Kataliza l Współliniowość zmiennych

2 Jednorównaniowy model ekonometryczny Y =  0  +  1 X 1 +  2 X 2 +... +  k X k +  y t =  0  +  1 x 1t +  2 x 2t +... +  k x kt +  t, t = 1,...,n y = X  + 

3 Estymatory MNK l wartości teoretyczne: l reszta: l układ równań normalnych: X T Xa = X T y l estymatory MNK: a = (X T X) -1 X T y

4 Założenia MNK l zmienne objaśniające X i są nielosowe i nieskorelowane ze składnikiem losowym, rz(X) = k + 1  n, E(  ) = 0, D 2 (  ) = E(  T ) =  2 I,  2 <   t : N(0,  2 ), t = 1,2,...,n, l informacje zawarte w próbie są jedynymi, na podstawie których estymuje się parametry strukturalne modelu.

5 Własności estymatorów MNK l Tw. Gaussa - Markowa: Estymator a wektora parametrów  modelu ekonometrycznego wyznaczony MNK jest estymatorem: liniowym, zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym w klasie liniowych i nieobciążonych estymatorów.

6 Estymator MNK - przykład Y - roczna pensja (tysiące $) X 1 - lata nauki po zakończeniu szkoły średniej X 2 - staż pracy w przedsiębiorstwie Szacowany model:Y =  0  +  1 X 1 +  2 X 2 +  l Oszacowanie modelu:

7 Własność koincydencji l Model jest koincydentny, jeśli dla każdej zmiennej objaśniającej modelu spełniony jest warunek: sgn r i = sgn a i l Para korelacyjna: para (R,R 0 ) l Regularna para korelacyjna: para (R,R 0 ), gdy współczynniki korelacji spełniają warunek: 0 < r 1  r 2 ...  r k

8 Zapis korelacyjny modelu ekonometrycznego l X, Y- dane wystandaryzowane, l R = (1/n)*X T X, l R 0 = (1/n)*X T Y, zapis korelacyjny:R 0 = R  + R , l estymatory:a = R -1 R 0, l współczynnik determinacji:R 2 = R 0 T R -1 R 0.

9 Koincydencja - przykład l współczynnik korelacji X 1 i X 2 : r 12 = 0,949 l model nie jest koincydentny, gdyż sgn a 1  sgn r 1

10 Miary jakości modelu l Współczynnik determinacji: l Skorygowany współczynnik determinacji l Niescentrowany współczynnik determinacji (model bez wyrazu wolnego)

11 Interpretacja R 2 l Część zmienności zmiennej objaśnianej, która jest wyjaśniana przez model. l Warunki poprawnej interpretacji: –zależność między zmienną objaśnianą, a zmiennymi objaśniającymi jest liniowa, –parametry modelu oszacowane zostały MNK, –model zawiera wyraz wolny.

12 Efekt katalizy l Efekt katalizy - możliwość otrzymania wysokiej wartości współczynnika determinacji mimo, że charakter i siła powiązań zmiennych objaśniających i zmiennej objaśnianej nie uzasadniają takiego wyniku. l Efekt katalizy może mieć miejsce, gdy występuje zmienna - katalizator: –dla regularnej pary korelacyjnej, zmienna X i z pary (X i,X j ) jest katalizatorem, jeżeli r ij r i /r j

13 Pomiar zjawiska katalizy l Natężenie zjawiska katalizy:  = R 2 - H, gdzie H jest integralną pojemnością informacyjną zestawu zmiennych objaśniających. l Względne natężenie efektu katalizy: W  =  / R 2 x 100%

14 Współliniowość zmiennych l Współliniowość jest wadą próby statystycznej, polegającą na tym, że szeregi reprezentujące zmienne objaśniające są nadmiernie skorelowane. l Konsekwencje występowania współliniowości: –niemożliwy staje się pomiar oddziaływania poszczególnych zmiennych objaśniających, –oceny wariancji estymatorów MNK, związanych ze skorelowanymi zmiennymi, są bardzo duże, –oszacowania parametrów są bardzo wrażliwe na dodanie lub usunięcie z próby niewielkiej liczby obserwacji. l Ale estymatory MNK są BLUE!!!

15 Dokładna współliniowość l Dokładna współliniowość - podzbiór zmiennych objaśniających jest związany zależnością liniową. rz(X) < k + 1  macierz X T X jest osobliwa i nie istnieją estymatory MNK! l W praktyce: przybliżona współliniowość.

16 Przybliżona współliniowość - co robić? l nie robić nic, l zmienić zakres próby statystycznej, l rozszerzyć model o dodatkowe równania, l nałożyć dodatkowe warunki na parametry, l usunąć zmienną lub zmienne, l wykorzystać wyniki innych badań, l dokonać transformacji zmiennych, l zastosować metodę estymacji grzbietowej, l zastosować metodę głównych składowych.