1 Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T.Departamento de Matemáticas Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. Razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales Representación en la circunferencia unidad Signo de las razones trigonométricas Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, … Resolución de triángulos rectángulos Teorema del Seno Teorema del Coseno Resolución de triángulos cualesquiera Mariano Benito
2 RAZONES TRIGONOMÉTRICASb c Y sus inversas: Mariano Benito
3 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASb c Mariano Benito
4 VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º sen 1 -1 cos tg cosec sec cotg Mariano Benito
5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1en el primer cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito
6 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1en el segundo cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito
7 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 190º 180º 0º en el tercer cuadrante 270º Mariano Benito
8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 190º 180º 0º en el cuarto cuadrante 270º Mariano Benito
9 SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASSeno y Cosecante + + _ _ Coseno y Secante _ + _ + Tangente y Cotangente _ + _ + Mariano Benito
10 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOSDos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a cosec (-a) = -cosec a sec (-a) = sec a cotg (-a) = -cotg a a -a EJEMPLO: sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º cos 330º = cos (-30º) = cos 30º tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito
11 Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a tg (90º-a) = cotga cosec(90º-a) = sec a sec(90º-a) = cosec a cotg(90º-a) = tg a 90º-a EJEMPLO: a sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = tg30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito
12 Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a tg (180º-a) = -tg a cosec (180º-a) = cosec a sec (180º-a) = -sec a 180º-a cotg (180º-a) = -cotg a a EJEMPLO: sen 150º = sen 30º cos 150º = -cos 30º tg 150º = -tg 30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito
13 Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a tg (180º+a) = tg a cosec (180º+a) = -cosec a sec (180º+a) = -sec a 180º+a cotg (180º+a) = cotg a a EJEMPLO: sen 210º = -sen 30º cos 210º = -cos 30º tg 210º = tg 30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito
14 Resolución de triángulos rectángulosResolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo dos de ellos. C a b Casos que pueden presentarse: I. Conocer un cateto y la hipotenusa II. Conocer un cateto y un ángulo agudo III. Conocer los dos catetos IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo 90º A c B Mariano Benito
15 I. Conocer un cateto y la hipotenusaDatos: a = 25 cm., b = 16 cm. Teorema de Pitágoras: a b 90º Definición de seno: A c B Mariano Benito
16 II. Conocer un cateto y un ángulo agudoDatos: C = 35º, b = 16 cm. Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 35º = 55º a b Definición de seno y coseno de C: 90º A c B Mariano Benito
17 III. Conocer los dos catetosDatos: b = 16 m. c = 12 m. Teorema de Pitágoras: a b 90º Definición de tangente: A c B Mariano Benito
18 IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudoDatos: a = 30 m. C = 25º Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 25º = 65º a b Definición de seno y coseno de C: 90º A c B Mariano Benito
19 Teorema del Seno C b a h m n Igualando la h en ambas ecuaciones B A cY en general se tiene: TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante …… Mariano Benito
20 Teorema del Seno …… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco de circunferencia. C D 90º En el triángulo ABC: a b 2R c B A En el triángulo ADC: Por lo tanto: Mariano Benito
21 Teorema del Coseno C b a h m n H B A c Para cualquier lado queda:Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de Pitágoras. Mariano Benito
22 Resolución de triángulos cualesquieraResolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos. C a b Casos que pueden presentarse: I. Conocer los tres lados II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes B c A Mariano Benito
23 I. Conocer los tres ladosDatos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. C a b B Con el teorema del Coseno: c A Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera
24 II. Conocer dos lados y el ángulo comprendidoDatos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º. b c C a B Con el teorema del Coseno calculamos c: Con el teorema del Seno hallamos B: Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’: y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’ Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera
25 III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellosConocemos los lados a y b y el ángulo A. En este caso hemos de contemplar tres posibilidades. Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir: III.3 a > h b III.2 a = h III.1 a < h h a b b a A h a h III.3.1 a > h y a < b A A b III.3.2 a > h y a > b b h a a h a b A h A A Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera
26 Ejemplo III.1 a
27 Ejemplo III.2 a=h Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO. C B = 90º, C = 90º-A = 60º cosA = c/b = c/20 c = 20.cosA = m. 20=b 10=h a=10 A=30º c B Volver al caso III Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera
28 Ejemplo III.3.1 a > h y a < bResuelve el triángulo del que se conoce: a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES. 20=b 20=b h=10 h=10 a=15 15=a c c A=30º B A=30º B B agudo C = 180-A-B = 108º11’23’’ c=(a.senC)/senA= m. B obtuso C = 180-A-B = 11º48’37’’ c=(a.senC)/senA= 6.14 m. Volver al caso III Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera
29 Ejemplo III.3.2 a > h y a > bC Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. b a h A c B C a b Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. h B c A Volver al caso III Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera
30 IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentesDatos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º. B a c Calculamos A = 180º – B – C = 105º A b C Con el teorema del Seno: Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera