1 TRIGONOMETRÍA Mariano Benito
2 MEDIDAS DE ÁNGULOS GRADO:1 Grado es la medida del ángulo que es 1/90 del ángulo recto. Ángulo recto 1º = 60 minutos = 60’ 1º 1’ = 60 segundos = 60’’ RADIÁN: Radio 1 Radián es la medida del ángulo cuyos lados abarcan un arco que mide igual que el radio de la circunferencia que lo ha trazado. 1 Radián Radio EQUIVALENCIAS: Circunferencia = Radianes Media Circunferencia =Ángulo Llano = Radianes Radianes 1/4 de Circunferencia =Ángulo Recto = Mariano Benito
3 π/4 radianes, 1 radián. (Pasar a diapositiva 4).EJERCICIOS: 1.- Convierte en grados, minutos y segundos los siguientes radianes: 3π radianes, π/4 radianes, 1 radián. (Pasar a diapositiva 4). 2.- Convierte en radianes los siguientes ángulos sexagesimales: 70º, 135º, 330º. Los demás apartados, ¡hazlos tú! Mariano Benito
4 ¿Cuántos grados, minutos y segundos es 1 radián?Ejercicio ¿Cuántos grados, minutos y segundos es 1 radián? º 314 ’ 314 ’’ 314 1 0 2º 57º 1 5 4’ 19’ 1 3 4’’ 29’’ 102 x 60 = 6120’ 154 x 60 = 9240’’ Mariano Benito
5 RAZONES TRIGONOMÉTRICASb b c c ¿Cuántas veces está a contenido en b? ¿Cuántas veces está a contenido en c? ¿Cuántas veces está c contenido en b? Mariano Benito
6 Halla tú las del ángulo β.EJERCICIOS: 3.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos marcados en los siguientes triángulos: β 12.5 5 10 β 4 α α 3 7.5 Halla tú las del ángulo β. Mariano Benito
7 Son triángulos semejantesLAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO NO DEPENDEN DEL TRIÁNGULO DONDE ESTÉ DIBUJADO. Son triángulos semejantes a b c 1 b’ c’ Mariano Benito
8 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASb c Mariano Benito
9 EJERCICIOS: 4.- Sabiendo que senx = 0.8, calcula las demás razones trigonométricas de x. 5.- Sabiendo que tgx = 1.5, calcula las demás razones trigonométricas de x. Emplea la calculadora para averiguar de qué ángulo se trata en los dos ejercicios. Mariano Benito
10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DE 45ºHipotenusa: L 45º L Mariano Benito
11 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º Y 60ºDividimos el triángulo equilátero con su altura h 30º 30º L L h 60º 60º L/2 L/2 L Mariano Benito
12 VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º Seno 1 -1 Coseno Tangente Mariano Benito
13 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1en el primer cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito
14 Las tres razones son positivas y con la calculadora obtenemos:EJERCICIOS: 6.- Dibuja el ángulo de 65º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. tg65º Las tres razones son positivas y con la calculadora obtenemos: sen65º = 0,906 cos65º = 0,423 tg65º = 2,145 sen65º 65º 1 cos65º Haz lo mismo con el ángulo de 20º. Mariano Benito
15 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1en el segundo cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito
16 El seno es positivo; el coseno y la tangente son negativas.EJERCICIOS: 7.- Dibuja el ángulo de 120º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. El seno es positivo; el coseno y la tangente son negativas. Su valor es: sen120º = 0,866 cos120º = -0,5 tg120º = -1,732 sen120º 120º cos120º tg120º Haz lo mismo con el ángulo de 150º. Mariano Benito
17 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 190º 180º 0º en el tercer cuadrante 270º Mariano Benito
18 El seno y el coseno son negativos. La tangente es positiva.EJERCICIOS: 8.- Dibuja el ángulo de 210º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. El seno y el coseno son negativos. La tangente es positiva. Su valor es: sen210º = -0,5 cos210º = -0,866 tg210º = 0,577 210º tg210º cos210º sen210º Haz lo mismo con el ángulo de 225º. Mariano Benito
19 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 190º 180º 0º en el cuarto cuadrante 270º Mariano Benito
20 El seno y la tangente son negativos. El coseno es positivo.EJERCICIOS: 9.- Dibuja el ángulo de 315º en la circunferencia unidad. Dibuja sus razones trigonométricas y fíjate en el signo que tienen. Comprueba los resultados con la calculadora. El seno y la tangente son negativos. El coseno es positivo. Su valor es: sen315º = -0,707 cos315º = 0,707 tg315º = -1 315º cos315º sen315º tg315º Haz lo mismo con el ángulo de 330º. Mariano Benito
21 SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASSeno + + _ _ Coseno _ + _ + Tangente _ + _ + Mariano Benito
22 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOSDos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a a -a EJEMPLO: sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º cos 330º = cos (-30º) = cos 30º tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º Mariano Benito
23 Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a tg (90º-a) = 1/tg a EJEMPLO: 90º-a a sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = 1/tg 30º Mariano Benito
24 Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a 180º-a tg (180º-a) = -tg a a EJEMPLO: sen 150º = sen 30º cos 150º = -cos 30º tg 150º = -tg 30º Mariano Benito
25 Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a 180º+a tg (180º+a) = tg a a EJEMPLO: sen 210º = -sen 30º cos 210º = -cos 30º tg 210º = tg 30º Mariano Benito
26 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS MAYORES QUE 360º.Si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo α >360º, primero calculamos las vueltas completas que dicho ángulo da a la circunferencia, para lo que dividiremos α entre 360º α 360º es decir, α = 360ºn + r r n Lo que quiere decir que el ángulo α da n vueltas completas a la circunferencia más un ángulo de r. Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de 750º. 750º = 360º º sen750º = sen30º = cos750º = cos30º = 750º tg750º = tg30º = Mariano Benito