1 TWIERDZENIE PITAGORASA Monika Grudzińska-Czerniecka

2 Pitagoras Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e.), filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. Ostatecznie osiadł jednak w Wielkiej Grecji, gdzie w Krotonie założył szkołę filozoficzno-religijną i związek pitagorejski. Nie pozostawił po sobie żadnych dzieł, a te, które później rozpowszechniano w Grecji, były, jak podają historycy filozofii, apokryfami.

3 Pitagoras Stworzył system poglądów naukowych, nazwanych jego imieniem. Był to rezultat pracy wielu uczonych, określanych powszechnie mianem pitagorejczyków. Z literatury filozoficznej Greków wynika, że Pitagoras jako pierwszy użył określenia filozofia w rozumieniu „miłość mądrości”.

4 Pitagoras Wprowadził pojęcie podobieństwa figur oraz ideę przeprowadzania systematycznych dowodów w geometrii. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu). Odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom, wierzył w harmonię w kosmosie.

5 Twierdzenie Pitagorasa Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równa się polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. a 2 + b 2 = c 2 c 2 = a 2 + b 2

6 Twierdzenie Pitagorasa

7 Dowód twierdzenia Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa można udowodnić odpowiednio rozcinając i składając kwadraty utworzone na bokach trójkąta prostokątnego.

8 Obliczanie długości przeciwprostokątnej W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 3 cm i 4 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej. c – długość przeciwprostokątnej c 2 = (3 cm) 2 + (4 cm) 2 c 2 = 9 cm 2 + 16 cm 2 c 2 = 25 cm 2 c = 5 cm 4 cm 3 cm c

9 Obliczanie długości przyprostokątnej W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm, a przeciwprostokątna ma długość 6 cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej. b – długość drugiej przyprostokątnej (6 cm) 2 = (4 cm) 2 + b 2 b 2 = (6 cm) 2 - (4 cm) 2 b 2 = 36 cm 2 - 16 cm 2 b 2 = 20 cm 2 b = 2√5 cm 4 cm b 6 cm

10 Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 1 cm. Dwa prostopadłe boki i przekątna kwadratu tworzą trójkąt prostokątny. d - długość przekątnej kwadratu d 2 = (1 cm) 2 + (1 cm) 2 d 2 = 1 cm 2 + 1 cm 2 d 2 = 2 cm 2 d = √2 cm Przekątna kwadratu 1 cm d

11 Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 4 cm, a jego ramię 6 cm. Jaką długość ma wysokość padająca na podstawę? Wysokość ta dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Przyprostokątnymi są: połowa podstawy i wysokość padająca na podstawę, a przeciwprostokątną długość ramienia. h – wysokość trójkąta padająca na podstawę (6 cm) 2 = (2 cm) 2 + h 2 h 2 = 36 cm 2 - 4 cm 2 h 2 = 32 cm 2 h = 4√2 cm Wysokość trójkąta równoramiennego h 4 cm 6 cm

12 Trójkąt egipski Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski czyli taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5, czyli bokach 3, 4, 5 i ich wielokrotnościach.