1 Twierdzenie PitagorasaAnna Jaworska, Katarzyna Jaworska, Magdalena Wróblewska Publiczne Gimnazjum nr 3 w Białymstoku, ul. Spacerowa 4
2 Pitagoras Pitagoras (ok p.n.e), filozof grecki. Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu), odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom. Wydaje się, że Pitagoras przekazywał swe nauki w postaci maksym, np. Zły język zdradza złe serce. Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie.
3 Pitagoras
4 Twierdzenie PitagorasaJeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
5 Twierdzenie PitagorasaDowód: Założenie: ∆ABC jest prostokątny Teza: a2+b2=c2 Dowód: Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech przystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać:
6 Twierdzenie PitagorasaDowód c.d.: Porównując ze sobą oba pola otrzymamy: a2+2ab+b2= c2+2ab a2+b2= c2+2ab-2ab Ostatecznie otrzymamy: a2+b2= c2
7 Twierdzenie PitagorasaWersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
8 Twierdzenie Pitagorasa
9 Twierdzenie PitagorasaDowód Garfilda: Autorem sprytnego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku i przebiega jak następuje:
10 Twierdzenie PitagorasaDowód Garfielda: na przyprostokątnej | BC | = a danego trójkąta prostokątnego ΔABC odkładamy | CD | = | AB | = b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy | BC | = a. Trójkąt ΔACE jest prostokątny (
11 Twierdzenie PitagorasaDowód Garfielda c.d.: Stąd równości: (b+a)(a+b)=c2+2 a2+2ab+b2=c2+2 a2+b2=c2
12 Twierdzenie odwrotne Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta, jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.
13 Twierdzenie odwrotne Dowód: Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów. My to udowodnimy następująco: Weźmy dowolny trójkąt ABC o bokach odpowiednio: |BC|=a, |AC|=b, |AB|= c spełniający warunek: a2+b2=c2
14 Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt KLM taki, że: |KL|=a, |KM|=b oraz < LKM= 90o Trójkąt KLM jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia pitagorasa i obliczyć bok LM : |LM| 2 = a2 + b2 z trójkąta ABC mamy: |LM| 2 = a2 + b2 = c2
15 Twierdzenie odwrotne Dowód c.d.: zatem: | LM | = c Okazało się, że:| BC | = a = | KL | , | AC | = b = | KM | , | AB | = c = | LM | Z cechy przystawania trójkątów (bbb) wnioskujemy, że trójkąty ABC i KLM są przystające. Z faktu, iż trójkąt KLM jest prostokątny wynika, że trójkąt ABC jest prostokątny.
16 Ślimak Teodorasa Ślimak Teodorasa — konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z liczby naturalnej. Pomysł konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny.
17 Ślimak Teodorosa
18 Ciekawostki Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość: 3,4,5 nazywamy trójkątem pitagorejskim. Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. Prostokąt, którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim. Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim.
19 Twierdzenie PitagorasaDziękujemy za uwagę