1 UNA INTRODUCCION Ing. Harold RomoWAVELETS UNA INTRODUCCION Ing. Harold Romo JOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Universidad Complutense de Madrid. Octubre 2004

2 CONTENIDO Historia y cronología de las wavelets Fourier Vrs. waveletsQue son las wavelets Transformada Continua de Wavelets CWT Transformada Discreta de Wavelets DWT Análisis Multiresolución y Bancos de filtros Aplicaciones prácticas

3 1. HISTORIA 1807 (1822) – Joseph Fourier.1909 – Alfred Haar - primera wavelet. 1946 – Dennis Gabor – Transformada Fourier ventaneada (envolvente Gaussiana). 1981 – Jean Morlet. - señal sísmica - “wavelets” Alex Grossman, Morlet desarrollan El término wavelet

4 1. HISTORIA 1985 – Ives Meyer. Wavelets-“ortogonalidad” & discretización. 1986 – Stéphane Mallat – multiresolución - wavelet. 1987 – Ingrid Daubechies. la primera wavelet ortogonal - soporte compacto - filtrado digital.

5 1. HISTORIA 1990 – David Donoho y Johnstone usan los wavelets para eliminar el ruido de una señal. 1992 – El FBI usa los wavelets para comprimir su base de datos 30 millones de huellas dactilares. Walt Disney Pictures y Pixar Animation Studios. Largometraje de animación informática llamado Bichos.

6 gn(t)= e jwt exponenciales complejas (sinusoides)2. FOURIER VRS. WAVELETS Análisis de Fourier gn(t)= e jwt exponenciales complejas (sinusoides) En Ing. Electrónica y Eléctrica es la forma natural de respuesta de los sistemas. Son fáciles de sintetizar por que permiten Superposición. Útil para fenómenos: Periódicos Invariantes en el tiempo Estacionarios

7 ¿Y las señales no estacionarias o no periódicas que?.2. FOURIER VRS. WAVELETS ¿Y las señales no estacionarias o no periódicas que?. La Transformada Fourier de Periodo Corto STFT, resuelve en parte el problema: La Transformada de Gabor utilizó ventanas de envolvente Gaussiana mejorando la resolución, mas no fue suficiente.

8 2. FOURIER VRS. WAVELETS La resolución temporal y la resolución en frecuencia están acopladas. [principio similar al de Heisenberg] Dt .Dw ≥ p Las wavelets sí dan información simultánea de tiempo y frecuencia.

9 2. FOURIER VRS. WAVELETS

10 3. Que son las WAVELETS Familia de funciones para análisis de señales, con información Simultanea en Tiempo y Escala (frecuencia) Útil para fenómenos: Transitorios Variantes en el tiempo No estacionarios Continua Discreta

11 3. Que son las WAVELETS Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet de Haar (1909)

12 Wavelet de Daubechie (orden 4) (1987)3. Que son las WAVELETS Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet de Daubechie (orden 4) (1987)

13 Wavelet con Spline lineal3. Que son las WAVELETS Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet con Spline lineal

14 3. Que son las WAVELETS STFT DWT El análisis de wavelets:Nos da información sobre el espectro de frecuencias en función del tiempo. La resolución espectral de una frecuencia f es: Df  f La resolución temporal de esta frecuencia es: Dt  1/f (Dt.Df = cte). STFT DWT

15 4. Transformada Continua de Wavelets CWTLa Transformada CWT de x(t) está dada por: La Transformada CWT inversa está dada por:

16 5. Transformada Discreta de Wavelets DWTLa Transformada DWT de x(t) está dada por: (coeficientes wavelets)

17 Traslaciones y dilataciones

18 6. Análisis Multiresolución y bancos de filtroswj Vj Vj+1=VjWj

19 Localización frecuenicalDESCOMPOSICIÓN WAVELET MULTINIVEL Escala j Localización frecuenical [0, fMÁX / 2 j]

20 Deducción de coeficientes por convolución - filtraje iterativo

21 7. Aplicaciones prácticasPasemos a la práctica

22 Construcción de wavelets a partir de sus coeficientes de filtro LO_RWavelet Daubechies db2 (construwavedb2.m)

23 Descomposición de una señal seno-ruidosa en sus componentes a 5 niveles

24 Muchas gracias