1 Unidad I Introducción a la Probabilidad

2 Lección 1.1 Conceptos básicos: azar, experimento aleatorio, significado de probabilidad

3 Objetivos Conocer la noción de azar y de experimentos aleatorios. Diferenciar entre experimentos aleatorios y deterministas. Comprender el concepto de probabilidad.

4 ¿Qué es lo primero que piensas al escuchar los términos azar y aleatorio? Explica que es el azar. Actividad 1.1a

5 Existen muchas expresiones que se usan en la vida diaria, que de manera implícita se refieren al azar o a la aleatoriedad. Por ejemplo: “Por suerte, de chiripa, sin querer, sin intención, por accidente, por casualidad....” Utilizamos estos términos para hacer referencia a la casualidad, a cosas fortuitas o imprevistas, a situaciones inciertas o no controladas. Así pues, en el lenguaje ordinario, el azar es entendido como sinónimo de suerte o casualidad, de falta de intención. Por ejemplo, hablamos de encuentros casuales o accidentales, de coincidencias al azar, de logros por suerte, de acciones sin intención, etcétera. Azar

6 Sin embargo, el azar no debe entenderse simplemente como sinónimo de suerte o casualidad, sino como una acción altamente compleja, debido a que una pequeña variación en dicha acción, produce un efecto considerable en el resultado. Esto ocasiona una total incertidumbre respecto a lo que va a ocurrir en el futuro. Decimos entonces que el resultado es aleatorio, porque la predicción resulta imposible. Azar

7 Consideremos el sencillo experimento de arrojar una moneda al aire y observar de qué lado cae. La experiencia nos indica que, aunque se intente repetir el experimento en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza cuál será el resultado. La explicación de esta incertidumbre, es que no se pueden replicar idénticamente las condiciones iniciales, porque cualquier cambio imperceptible, por ejemplo en al fuerza de lanzamiento o en la posición en que se coloca la moneda, tendrá un gran efecto en el resultado. Ese efecto considerable, causado por cosas modestas e imperceptibles, a falta de mejor explicación, se dice que es causado por el azar. Ejemplo

8 Los fenómenos cuyos resultados se atribuyen al azar se llaman fenómenos aleatorios o sucesos aleatorios. Es decir, los fenómenos aleatorios son aquellos cuyos resultados no se pueden predecir con certeza debido a que pequeños cambios en las condiciones iniciales producen efectos muy complejos en el desarrollo del fenómeno. En contraparte, los fenómenos cuyos resultados si pueden preverse, se llaman determinísticos.

9 En probabilidad la palabra “experimento” tiene un significado amplio. Se le llama experimento, tanto a los verdaderos experimentos que se pueden provocar, como a los fenómenos observables en el mundo real. Es decir, la acción de observar un fenómeno se considera un experimento. Por lo general, antes de observar debemos realizar otra acción, por ejemplo: extraer o seleccionar un objeto y después observar alguna característica de interés, tirar un dado o una moneda y observar su cara superior. Así como distinguimos entre fenómenos aleatorios y determinísticos, también diferenciamos entre experimentos aleatorios y determinísticos. Experimentos aleatorios y experimentos determinísticos

10 Un experimento es determinístico, si al realizarse en las mismas circunstancias sólo tiene un resultado posible el cual es predecible. Por ejemplo, si colocamos un trozo de hielo bajo el sol, sabemos de antemano cuál será el resultado. Un experimento es aleatorio, si cumple con las siguientes características: Se conocen de antemano, todos los posibles resultados, pero no se sabe cuál de esos resultados se va a obtener al realizarse el experimento. Se puede repetir en circunstancias similares. Experimentos aleatorios y experimentos determinísticos

11 a)Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles son determinísticos. 1.Observar un partido de fútbol y registrar el resultado. 2.Ejecutar un tiro libre en basketball y observar si el balón entra en la canasta. 3.Medir con gran precisión tanto la longitud de una circunferencia como su diámetro y calcular el cociente de Circunferencia / Diámetro. 4.Colocar dentro del congelador una botella de vidrio cerrada llena de agua. 5.Lanzar un dado y observar el número de puntos que muestra la cara que queda hacia arriba. Actividad 1.1b

12 b) Escribe tres ejemplos de experimentos aleatorios. c) Escribe tres ejemplos de experimentos determinísticos. d) Lanza una moneda al aire diez veces y realiza lo indicado: 1)Anota un resultado cualquiera obtenido. 2)Registra todos los resultados obtenidos. 3)¿Cuántas águilas obtuviste? Si repites varias veces un experimento aleatorio, obtendrás una sucesión de resultados muy irregular, denominada sucesión aleatoria. Actividad 1.1b

13 En un experimento aleatorio, se destacan cuatro aspectos: El proceso de generación de resultados, el cual es el experimento mismo. Los posibles resultados. El resultado obtenido en un ensayo. La sucesión de resultados obtenida en una serie de ensayos particulares.

14 Ahora, cabe plantear la siguiente pregunta: si al efectuar un experimento aleatorio, de lo único que estamos seguros es que ocurrirá uno de los posibles resultados, ¿qué utilidad tiene estudiar este tipo de experimentos? En la siguiente actividad, podrás convencerte que, aunque parezca un contrasentido, el azar tiene leyes, y es precisamente la probabilidad el campo de las matemáticas que trata de encontrar esas leyes a fin de tomar decisiones adecuadas en aquellas situaciones que parecen estar dominadas por el azar.

15 a)Contesta las siguientes preguntas: Si lanzas una moneda una vez y cae “águila”, ¿qué puedes comentar? Si lanzas una moneda 5 veces y caen 5 “águilas”, ¿qué opinas? 3) Si lanzas una moneda 1000 veces y aparece “águila” 950 veces, ¿qué opinas de este hecho? Actividad 1.1 c

16 Con toda seguridad, de acuerdo a tu experiencia, consideras totalmente “normal” que al lanzar una moneda una vez, pueda caer águila, o al lanzarla 5 veces puedan caer 5 águilas. Pero, si al lanzar la moneda 1000 veces caen 950 águilas, inmediatamente sospecharás de la moneda. Tal vez concluyas que se está haciendo trampa o que la moneda no es “honesta” o que está “cargada”. Al concluir que algo no anda bien cuando al lanzar una moneda 1000 veces caen 950 águilas, estás ya aplicando una ley del azar. Así pues, las leyes del azar surgen cuando en lugar de considerar un sólo fenómeno, contemplas cientos o miles de tales fenómenos.

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18 Gran parte del trabajo matemático ( y en consecuencia de la probabilidad), consiste en encontrar patrones o leyes que nos permitan modelar los fenómenos estudiados. En este caso, estamos interesados en encontrar algún patrón mostrado por las sucesiones aleatorias. Pero, como ya se mencionó, la única manera de descubrir patrones en una secuencia aleatoria, es repetir un gran número de veces el experimento correspondiente. Por tanto, deberás trabajar en equipo tal y como se indica en la siguiente actividad (Actividad 1.1 e, página 18).

19 Actividad 1.1 e

20 Ahora, regresemos a la primer pregunta planteada al inicio de esta actividad: “si lanzas una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila?”. Seguramente contestaste que ½, 0.5 ó 50%. Pero, ¿qué significa ésto? Los gráficos de barras que acabas de trazar, nos permiten avanzar hacia una respuesta: con pocos lanzamientos la frecuencia relativa puede ser cualquier valor, pero después de muchos (cientos o miles), esta frecuencia se mantiene muy cerca de 0.5. Ésto se aprecia mejor si nos concentramos únicamente en un resultado; para ello, traza un gráfico que muestre cada una de las frecuencias relativas del resultado águila conforme aumenta el número de lanzamientos: Actividad 1.1 e

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23 Si atendemos los resultados obtenidos con pocos lanzamientos de una moneda, las frecuencias relativas del resultado “águila” son muy irregulares; sin embargo, si a partir de un cierto momento, siguen aumentando los lanzamientos, dicha frecuencia relativa, tiende a estabilizarse alrededor de 0.5. Esta frecuencia relativa también puede verse como una proporción: A este número al que tienden a estabilizarse las frecuencias relativas de un suceso (en este caso el suceso “cae águila”) se le llama probabilidad de que ocurra el suceso. Conclusión Actividad 1.1 e

24 Es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que el suceso ocurra, al repetir el experimento más y más veces. Entonces, según estos resultados, la probabilidad de que ocurra águila al lanzar una moneda es 0.5. Simbólicamente: P(águila) = 0.5 Se lee: “La probabilidad de que ocurra el suceso águila es 0.5”. Probabilidad de que ocurra un suceso

25 Ahora, considera el experimento de lanzar un dado. Según tu experiencia contesta: 1)¿Cuáles son los resultados posibles? 2)¿Cuál es la probabilidad de que la cara superior muestre un punto? ¿En qué basas tu respuesta? 3)Observa las siguientes distribuciones que muestran las frecuencias relativas de cada uno de los seis resultados posibles, obtenidas conforme se lanza un dado más y más veces: Actividad 1.1 e

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27 En un suceso aleatorio, después de un gran número de repeticiones del experimento que lo genera, surge una especie de orden o regularidad estadística, manifestado por la estabilización de la frecuencia relativa (o proporción), conque aparece dicho suceso. Esa frecuencia relativa se conoce como probabilidad de que ocurra el suceso. Conclusión

28 El valor conocido como probabilidad de un suceso, sólo nos informa sobre la proporción de veces que aparecerá dicho suceso en un gran número de repeticiones del experimento correspondiente. En otras palabras, en la sucesión aleatoria originada por la repetición de un experimento aleatorio, se observará mucha variabilidad local que impide predecir su comportamiento inmediato, pero hay una regularidad global (llamada regularidad estadística) manifestada por la estabilidad de las frecuencias relativas. Conclusión

29 La interpretación dada a la probabilidad de un suceso, también se conoce como ley de los grandes números, y fue enunciada por primera vez por Jakob Bernoulli en su obra «arte de conjeturas» a finales del siglo XVII de la siguiente manera: “La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente” Para finalizar