1 UNIDAD No. 5 Series Series de potencias

2 SERIES DE POTENCIAS Una serie de potencias es aquella que tiene la forma: en donde x es una variable y los cn son constantes llamadas coeficientes de la serie. De una manera más general, la serie de la forma: se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a.

3 EJEMPLO La serie: es una serie de potencias con cn=1 para toda n. Esta serie es una serie geométrica que converge si -1

4 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURINSupongamos que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias: Es posible verificar a partir de ello, que:

5 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN…Si continuamos derivando y evaluando para x=a, podemos llegar a lo siguiente: Al despejar el valor de cn, el resultado es: Esta fórmula es válida aún para n=0 si adoptamos las convenciones de que 0!=1 y que f(0)=f. De esta manera demostramos el siguiente teorema:

6 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN…Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es: los coeficientes están expresados por la fórmula:

7 SERIE DE TAYLOR

8 SERIE DE MACLAURIN En el caso especial de que a=0, la serie de Taylor se transforma en: Esta serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.

9 PROBLEMAS: Obtenga la serie de Maclaurin para cada una de las siguientes funciones: f(x) = ex f(x) = cos(x) f(x) = sen(x)