1 UNIDAD TEMÁTICA T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD M. EN P. E. A NA M ARGARITA A RRIZABALAGA R EYNOSO T OLUCA DE L ERDO ; E STADO DE M ÉXICO. S EPTIEMBRE DE 2015 P ROBABILIDAD Y E STADÍSTICA U NIVERSIDAD A UTÓNOMA DEL E STADO DE M ÉXICO F ACULTAD DE Q UÍMICA P ROGRAMA E DUCATIVO DE Q UÍMICO EN A LIMENTOS

2 P ROBABILIDAD

3 I NTRODUCCIÓN Las situaciones que se presentan en el mundo son estudiadas cada día con mayor frecuencia en términos probabilísticos (inciertos), más que deterministas (predecibles). A algunas situaciones se les considera de ocurrencia segura y a otras imposible de acontecer. Probabilidad La Probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia las expectativas de que un suceso o fenómeno determinado ocurra.

4 P ROBABILIDAD Probabilidad El concepto de Probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como : ¿Cuál es la posibilidad de que me saque la lotería? ¿Qué viabilidad hay de que este año disminuyan los casos de influenza? ¿Qué factibilidad hay de que hoy llueva? ¿Cuáles son las oportunidades de que nuestro equipo gane el campeonato? ¿Cuántos artículos son defectuosos?

5 Probabilidad Estas preguntas, en el lenguaje coloquial, esperan como respuesta una medida de confianza de que ocurra un evento futuro, o bien, de una forma sencilla, interpretar la Probabilidad de que ése fenómeno suceda. P ROBABILIDAD Medida de la incertidumbre (duda) de que un fenómeno ocurra. Fuente: Imágenes de Google, 2015

6 P ROBABILIDAD Probabilidad El conocimiento de la Probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico. Estadística Inferencial El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la Estadística Inferencial. Medida de la incertidumbre (duda) de que un fenómeno ocurra. Fuente: Imágenes de Google, 2015

7 P ROBABILIDAD fenómeno aleatorio Probabilidad Un fenómeno aleatorio es un acontecimiento del que no se sabe el resultado que se obtendrá; están relacionados con el azar. La Probabilidad estudia los fenómenos aleatorios. Auditoría para identificar cero defectos. Fuente: Imágenes de Google, 2015

8 P ROBABILIDAD fenómeno determinista Por otro lado, un fenómeno determinista es el acontecimiento en el cual, de antemano, se sabe cual será el resultado. Calcular la velocidad de la motocicleta aplicando la fórmula para el movimiento rectilíneo. Fuente: Imágenes de Google, 2015

9 P ROBABILIDAD Teoría de la Probabilidad El primer libro sobre Teoría de la Probabilidad es "De Ludo Aleae" de Girolamo Cardano (1501 - 1576, Italia) que esta básicamente dedicada al juego de los dados. Cardano anteriormente se había ocupado de los problemas de apuestas. Girolamo Cardano Fuente: Imágenes de Google, 2015

10 P ROBABILIDAD Teoría de la Probabilidad La Teoría de la Probabilidad se inició prácticamente con el análisis de los juegos de azar. Los tres matemáticos pioneros de estas teorías fueron: Blaise Pascal (1623-1662). Pierre de Fermant (1601-1665) y Pierre Simón de Laplace (1749-1827) Pascal, Fermant y Laplace “Jugadores de cartas”, 1595 M. A Merisi de Caravaggio (1573-1616 ) Fuente: Imágenes de Google, 2015

11 P ROBABILIDAD Los juegos de azar son sin duda una de las actividades de recreación más antiguas del hombre, fueron una motivación principal para el desarrollo de la teoría de la probabilidad, y fue precisamente acerca de uno de éstos juegos que Pascal y Fermant iniciaron en 1654 un estudio sistemático. “Niños jugando a los dados”, 1665 B. E. Murillo (1617-1682) Fuente: Imágenes de Google, 2015

12 P ROBABILIDAD El suceso que trataron Pascal y Fermant surgió de un juego de dados y tenían que averiguar el número de veces que se debían arrojar dos dados para que la probabilidad de obtener dos “seis” fuera el cincuenta porciento. Juego de dados Fuente: Imágenes de Google, 2015

13 P ROBABILIDAD Theorie Analytique des Probabilites, Sin embargo, hasta 1812 Laplace definió con precisión lo que significaba la probabilidad de un evento, en su Theorie Analytique des Probabilites, explicando la posibilidad de que un evento dado ocurra. Publicación de la “Teoría Analítica de las Probabilidades” de Laplace, 1812 Fuente: Imágenes de Google, 2015

14 P ROBABILIDAD Teorema de Chebyshev Teoría de los Números Los pioneros de la Teoría de la Probabilidad tuvieron contribuciones de otros científicos como Chebyshev (1821-1894) con el Teorema de Chebyshev y Markov (1856-1922) con el Teoría de los Números. Pafnuti Chevyshev Y Andréi Márkov Fuente: Imágenes de Google, 2015

15 P ROBABILIDAD Sistema Axiomático de la Teoría de la Probabilidad Teoría de Conjuntos Finalmente Andréi Kolmogórov (1903- 1987) estructuró el Sistema Axiomático de la Teoría de la Probabilidad a partir de la Teoría de Conjuntos, donde los elementos son eventos de un experimento probabilístico. Andéi Kolmogórov Fuente: Imágenes de Google, 2015

16 P ROBABILIDAD ProbabilidadProbabilidad Teoría de Conjuntos Conceptos básicos Operaciones con conjuntos Conceptos básicos Axiomas de la Probabilidad Teoría de la Probabilidad Fuente: Elaboración propia, 2015 C ONTENIDO DE LA U NIDAD T EMÁTICA

17 Teoría de la Probabilidad Teoría de Conjuntos. Para lograr un desarrollo ordenado de la Teoría de la Probabilidad se requiere recordar la Teoría de Conjuntos. Conceptos Básicos Conceptos Básicos: conjunto Un conjunto es una colección bien definida; es decir, una colección de objetos o sujetos con una característica en común. T EORÍA DE C ONJUNTOS Representación de un conjunto de números Fuente: Elaboración propia, 2015 5

18 elementos Los objetos o sujetos que constituyen un conjunto se denominan elementos. Hay tres formas de describir un conjunto: enunciación 1. Por enunciación: Cuando se escribe o se enlistan los elementos que conforman un conjunto. U = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo} T EORÍA DE C ONJUNTOS

19 comprensión 2.Por comprensión: Cuando se proporciona una regla con la cual se identifican los elementos de un conjunto. U = {Los días de la semana} Diagrama de Venn 3.Por Diagrama de Venn: Cuando se representan gráficamente los elementos de un conjunto y sus relaciones. T EORÍA DE C ONJUNTOS

20 Diagrama de Venn T EORÍA DE C ONJUNTOS LunesLunes JuevesJueves MartesMartesMiércolesMiércoles SábadoSábado ViernesViernes DomingoDomingo U Representación del conjunto de los días de la semana Fuente: Elaboración propia, 2015

21 conjunto universo U. El conjunto universo es la colección de objetos o sujetos que contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada. Se acostumbra identificar con la letra U. T EORÍA DE C ONJUNTOS Diagrama de Venn Representación del conjunto universo Fuente: Elaboración propia, 2015 A B U

22 U Sea U el conjunto universo que incluye los siguientes elementos: U = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo}, U = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo}, o bien U = {Los días de la semana} Entonces,  U,  U  U Lunes  U, domingo  U, noviembre  U U U. Es decir, los elementos lunes y domingo son pertenecen a U y noviembre no pertenece a U. T EORÍA DE C ONJUNTOS

23 Diagrama de Venn T EORÍA DE C ONJUNTOS U B A Representación de dos conjuntos en el conjunto universo Fuente: Elaboración propia, 2015

24 T EORÍA DE C ONJUNTOS U B A Representación de un subconjunto Fuente: Elaboración propia, 2015 Subconjunto Un Subconjunto es una parte de la colección de objetos o sujetos que componen un conjunto determinado. En notación matemática se representa como : A  B o A  B.

25 T EORÍA DE C ONJUNTOS conjunto vacío A =  El conjunto vacío es el que carece de elementos. En notación matemática se representa como A =  cardinalidad de un conjunto A n(U) = 7 La cardinalidad de un conjunto A es el número de elementos que contiene y se denota como n(U) = 7 (haciendo referencia al conjunto de los días de la semana).

26 Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos: A  B. Unión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A, en B o en ambos. Se denota por A  B. T EORÍA DE C ONJUNTOS U BA Representación de la unión de conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015

27 Intersección de conjuntos: A  B. Intersección de conjuntos: La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que están en A y también están en B. La notación matemática es A  B. T EORÍA DE C ONJUNTOS U BBAA Representación de la intersección de conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 Representación de la intersección de conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015

28 Complemento de un conjunto: A = U - A. Complemento de un conjunto: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos del Universo que no están en A. Entonces A = U - A. T EORÍA DE C ONJUNTOS U A Representación del complemento de un conjunto Fuente: Elaboración propia, 2015 A

29 Diferencia de dos conjuntos: A - B. Diferencia de dos conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A pero no en B; es decir, son los elementos que exclusivamente pertenecen a A. Se denota como A - B. T EORÍA DE C ONJUNTOS Representación de la diferencia de conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 B A U

30 Ejemplo Se realiza una encuesta entre 100 personas para conocer cuál es su destino turístico preferido: Acapulco o Cancún. De ellas, 45 respondieron que prefieren Cancún; 35 Acapulco y 25 respondieron que Acapulco les gusta tanto como Cancún. T EORÍA DE C ONJUNTOS Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 C A U

31 Ejemplo Determina: ¿Cuántas personas prefieren sólo Cancún? ¿Cuántas personas prefieren otros destinos que no sean Acapulco o Cancún? T EORÍA DE C ONJUNTOS Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 C A U

32 Procedimiento Determinar el número de personas que prefieren Acapulco Determinar el número de personas que prefieren Cancún Elaborar el Diagrama de Venn que represente estos conjuntos T EORÍA DE C ONJUNTOS Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 CA U ACACACAC [A  C] c

33 Procedimiento Determinar la cardinalidad de A: n[A] = 10 Determinar la cardinalidad de C: n[C] = 20 Determinar la cardinalidad de A  C: n[A  C] = 25 Determinar la cardinalidad del complemento de A  C: n[A  C] = 45 T EORÍA DE C ONJUNTOS Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 C 10 C 25 20 A U ACACACAC [A  C] c = 45 C 10 25

34 Resultado El número de personas que prefieren Cancún como destino turístico es: n[C – A] = n[C] – n[A  C] = 45-25 = 20 El número de personas que prefieren otros destinos turísticos que no sean Cancún o Acapulco es: n[A  C] = n[U] – n[A  C] = 100-55 = 45 T EORÍA DE C ONJUNTOS Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 C 20 [A  C] c = 45 A 10 C 20 U ACACACAC 25

35 Teoría de Conjuntos Conceptos Básicos de la Teoría de la Probabilidad. Una vez revisada la Teoría de Conjuntos se pueden explicar los Conceptos Básicos de la Teoría de la Probabilidad. Teoría de la Probabilidad La Teoría de la Probabilidad se usa extensamente en áreas como la Estadística, la Física, las Matemáticas, las Ciencias Naturales, las Ciencias Exactas y las Sociales, para obtener conclusiones sobre la posibilidad de que acontezcan sucesos o fenómenos, por lo tanto es la rama de las Matemáticas que estudia a los experimentos aleatorios y sus resultados. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

36 Conceptos Básicos Probabilidad La Probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de ocurrencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento del cual no se conocen los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente constantes. Probabilidad La Probabilidad es el conjunto de posibilidades que tiene un evento de que ocurra o no en un momento y tiempo determinado. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

37 no pude ocurrirprobabilidad de 0 evento imposible; probabilidad de 1 evento posible o seguro. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pude ocurrir tiene una probabilidad de 0 y se conoce como evento imposible; por otra parte, un evento que tiene una probabilidad de 1 es un evento que ocurre con una certeza muy alta y se conoce como evento posible o seguro. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD 0.50 1 Evento posible Evento probable Evento imposible

38 experimento Probabilidad Un experimento en Probabilidad es un procedimiento, acción u operación que consiste en realizar una medición u observación de los resultados posibles y cuantificarlos; es decir, cualquier proceso que genera un resultado definido. Experimento: Elección de personas Fuente: Imágenes de Google, 2015 T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

39 Probabilidad Los experimentos en Probabilidad pueden clasificarse de acuerdo al tipo de resultados que se obtienen: Experimento AleatorioExperimento Aleatorio T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Experimento Aleatorio Recuento de microorganismos Fuente: Norma ISO 22000, 2015

40 Experimento DeterministaExperimento Determinista T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Experimento Determinista: Ensayos en el Laboratorio Fuente: Imágenes Google, 2015

41 experimento es aleatorio Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1.Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. 2.Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. s 3.El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

42 Experimento aleatorio Experimento aleatorio es aquel que bajo la misma serie de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes; es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. ¿Qué porcentaje de pacientes se mejorarán con el nuevo tratamiento? Fuente: Imágenes de Google, 2015 T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

43 experimentos aleatorios Ejemplos de experimentos aleatorios son: 1.Resultado de un partido de futbol. 2.Llegada de un autobús a la parada. 3.Aprobar el examen final de Estadística. 4.Clima sin lluvia y tormentas eléctricas. 5.Preferencias por un estilo de música. 6.Nivel de inflación en el año. 7.Casos de influenza en la temporada invernal. 8.Ganador del Maratón de la Ciudad de México. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

44 Experimento determinista Experimento determinista es aquel estudio, ensayo o situación en la cual se conocen todos los factores de un experiencia y que permite predecir exactamente el resultado que se va a obtener. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Louis Pasteur (1822-1895) y el origen de la pasteurización. Fuente: Imágenes de Google, 2015

45 Espacio Muestral S Espacio Muestral es el conjunto de todos los posibles eventos o resultados que pueden ocurrir como efecto de un experimento determinado y se le denota normalmente mediante la letra S. El espacio muestral puede representarse gráficamente con un Diagrama de Venn. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD CA S B Representación del Espacio Muestral. Fuente: Elaboración propia, 2015

46 Espacio Muestral El Espacio Muestral puede representarse también con la notación de conjuntos, ya sea por enunciación o por comprensión.Ejemplo Experimento Experimento: ¿Cuál es el color favorito de los estudiantes? Espacio muestral: Espacio muestral: Frecuencia de ocurrencia para el color blanco, negro, café, azul, rojo, rosa, naranja, entre otros. S S = {10 blanco, 15 negro, 5 café, 12 azul, 3 rojo, 2 rosa, 7 naranja} T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

47 S n[S]cardinalidad del espacio muestral Al número de puntos muestrales de S se le representa por n[S] lo cual se llama cardinalidad del espacio muestral. Evento Un Evento es una colección de resultados u observaciones obtenidos del experimento probabilístico y forma parte del espacio muestral. S S Los eventos son subconjuntos del espacio muestral S, y se denotan como A, B, C,…  S T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

48 evento El evento es una colección de resultados u observaciones obtenidas del experimento y forma parte del espacio muestral. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD EventoEvento S Evento Representación de los Eventos que se encuentran en un Espacio Muestral. Fuente: Elaboración propia, 2015

49 Eventos Aleatorios Los Eventos Aleatorios son las agrupaciones de resultados u observaciones que se obtienen de un experimento aleatorio y son parte de un espacio muestral. eventos aleatorios Los eventos aleatorios son subconjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos y también no contener algún elemento. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

50 Eventos aleatorios Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades: Evento seguro:Evento seguro: Siempre se verifica después del experimento aleatorio, forma parte del espacio muestral. E = S E = S y n[E] = n[S] T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

51 Evento imposible: S conjunto vacíoEvento imposible: Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío. S   S, y n[  ] = 0 T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

52 Evento Elemental o Simple E S n[E] = 1 Evento Elemental o Simple es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S ; esto es, n[E] = 1. evento elementalpunto muestral Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral. s 1 s 2  S s 1 s 2 Si s 1, s 2  S entonces s 1, s 2 son eventos elementales. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

53 Eventos Mutuamente Excluyentes o Disjuntos E 1 y E 2 Eventos Mutuamente Excluyentes o Disjuntos son dos eventos E 1 y E 2 que tiene la característica de que cuando sucede uno (E1) no sucede el otro (E2); por lo tanto, no tienen elementos en común. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD B A S Representación de los Eventos Mutuamente Excluyentes en un Espacio Muestral. Fuente: Elaboración propia, 2015

54 Ejercicio Un técnico de laboratorio clínico registra el tipo de sangre y el factor Rh de los pacientes que van llegando al laboratorio. Liste los eventos simples del experimento: S = {A+, A-, B+, B-, AB+,AB-, O+, O-} T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Representación de los Eventos Simples del Espacio Muestral Tipo de Sangre. Fuente: Elaboración propia, 2015 O ASB AB

55 S T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD A B AB O A+A+A+A+++ + + - - - - A-A-A-A- B+B+B+B+ B-B-B-B- AB + AB - O+O+O+O+ O-O-O-O- Diagrama de Árbol de Tipos de Sangre.. Fuente: Elaboración propia, 2015

56 Ejercicio T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Representación de los Eventos Simples del Espacio Muestral Tipo de Sangre. Fuente: Elaboración propia, 2015 Factor RhTipo de Sangre PositivoA+A+ B+B+ AB + O+O+ NegativoA-A- B-B- AB - O-O- Tipo de Sangre PositivoABABO Proporción0.410.100.040.45 O A O A B ABS

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59 probabilidad de un evento A La probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades de los eventos simples contenidos en A. Los requerimientos para las probabilidades de los eventos simples son: Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1. Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples en el espacio muestral S es igual a 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples en el espacio muestral S es igual a 1. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

60 Ejemplo Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población son: 0.41, 0.10, 0.04 y 0.45, respectivamente. Si se eligiera al azar una persona ¿Cuál es la probabilidad de que el tipo sanguíneo que presenta sea A o AB? T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Factor Rh Tipo de Sangre ABABO NegativoA-A- B-B- AB - O-O- PositivoA+A+ B+B+ AB + O+O+ Total0.410.10.040.45

61 Ejemplo Los cuatro eventos simples A, B, AB y O no son equiprobables; es decir, no presentan la misma probabilidad. Sus probabilidades se encuentran a partir del concepto de frecuencia relativa: El evento de interés consiste en dos eventos simples, por lo tanto: P(la persona tenga tipo A o tipo AB) = P(A) + P(AB) = 0.41+ 0.04 = 0.45 T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD P(A) = 0.41P(B) = 0.1P(AB) = 0.04P(O) = 0.45

62 Cálculo de la Probabilidad de un Evento Liste los eventos simples del espacio muestral Incluya todos los eventos simples en el espacio muestral Asigne la probabilidad real correspondiente a cada evento simple Determine que eventos simples dan como resultado el evento de interés Sume las probabilidades de los eventos simples que dan como resultado la probabilidad del evento de interés T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

63 Ejemplo En un estudio se clasifica un número grande de adultos a partir de si necesitan anteojos para corregir su visión de lectura o si usan anteojos para leer. Las proporciones correspondientes a las cuatro categorías son: T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Necesitaban anteojos Utilizaban anteojos para leer SiNoTotales Si0.440.140.58 No0.020.400.42 Totales0.460.541.00

64 Ejemplo Si se elige un solo adulto de este grupo, encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: El adulto necesita anteojos El adulto necesita anteojos para leer pero no los usa El adulto usa anteojos para leer ya sea que los necesite o no Considere las recomendaciones hechas anteriormente para el cálculo de probabilidades. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

65 Ejemplo Necesitaban anteojos Utilizaban anteojos para leer SiNoTotales SiA = 0.44C = 0.140.58 NoB = 0.02D = 0.400.42 Totales0.460.541.00 Evento “El adulto necesita anteojos” [P(A)+P(C)] = 0.44+0.14 = 0.58 Evento “El adulto necesita anteojos para leer pero no los usa” [P(C)] = 0.14 [P(C)] = 0.14 Evento “El adulto usa anteojos para leer ya sea que los necesite o no” [P(A)+P(B)] = 0.44+0.02 = 0.46

66 Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios: 1.Durante su curso de Química, los alumnos tienen que aprobar dos exámenes, uno teórico y otro de laboratorio. 31 alumnos ya aprobaron el examen teórico; 15 el de laboratorio; 8 alumnos han aprobado ambos exámenes y el resto no han aprobado ninguno. En el curso de Química están inscritos 64 estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar pertenezca a alguno de los siguientes eventos? T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

67 Ejercicios Haya aprobado el examen teórico Haya aprobado el examen del laboratorio Haya aprobado ambos exámenes No haya aprobado ningún examen Elabore un Diagrama de Venn para representar el espacio muestral y considere las recomendaciones hechas anteriormente para el cálculo de probabilidades. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

68 Ejercicios 2.Una bolsa contiene diez esferas marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Sea E 1 el evento de extraer una esfera marcada con 3 o menos. Sea E 2 el evento de extraer una esfera marcada con 6 o más. ¿Cuál es la probabilidad de sacar estas esferas de la bolsa? T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

69 Ejercicios 3.La probabilidad de que asista a una universidad pública (A) es de 0.4 y la probabilidad de que asista a una privada (B) es 0.25 ¿Cuál es la probabilidad de que asista a una universidad estatal o a una universidad privada? y ¿Cuál es la probabilidad de que no asista a la universidad (C)? T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

70 Operaciones con Probabilidades Unión de eventos (A  B) Dados dos eventos A y B se llama unión de A y B (A  B), se representa por el evento que se realiza cuando ocurre A o B, o ambos. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD B A S Representación de la Unión de Eventos. Fuente: Elaboración propia, 2015

71 Operaciones con Probabilidades Intersección de eventos (A  B) Dados dos eventos A y B, se llama intersección A y B (A  B), se representa por el evento que se obtiene si y sólo si se realizan simultáneamente A y B. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD B A S Representación de la Intersección de Eventos. Fuente: Elaboración propia, 2015

72 Operaciones con Probabilidades Complemento de un Evento (A) Dado un evento A, el complemento de este evento (A) es el evento de que A no ocurra. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD AA SS AA Representación del Complemento de un Evento. Fuente: Elaboración propia, 2015

73 Operaciones con Probabilidades Diferencia de Eventos (A-B) A  B Dados dos eventos A y B, se llama evento diferencia de A y B, y se representa por (A-B), al suceso A  B; o sea, está formado por todos los eventos elementales de A que no están en B. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD S Representación de la Diferencia de dos Eventos. Fuente: Elaboración propia, 2015

74 OperaciónNotaciónDescripción Unión A  B Unión de eventos originales A y B es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden. Intersección A  B A  B Intersección de los eventos originales A y B, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. Diferencia A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no B. ComplementoA El complemento de un evento A se define como todos los elementos de S que no están en A. Se representa como A c, A T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Resumen de Operaciones con Probabilidades

75 Definición Axiomática de la Probabilidadde Kolmogorov Definición Axiomática de la Probabilidad de Kolmogorov S S PAP(A) Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una probabilidad en S es cualquier función P que asigna a cada evento A un número real P(A) que cumple las siguientes propiedades: 0 ≤ P(A) ≤ 1 A1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 A.2. P(S) = 1 Si A y B son eventos mutuamente excluyentes (A  B = 0), entonces P(A  B) = P(A) + P(B) A.3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes (A  B = 0), entonces P(A  B) = P(A) + P(B) T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

76 1.P(  ) = 0 2.P(A) = 1- P(A) o [P(Ac)] 3.Si A y B son eventos tales que A  B entonces P(A) ≤ P(B) 4.P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) para eventos que no son mutuamente excluyentes 5.P(A/B ) = P(A) - P(A  B) T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Propiedades de la Probabilidad

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78 Eventos Independientes Dos eventos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro. De manera similar, muchos otros eventos son independientes si la ocurrencia de cualquiera no afecta las probabilidades de la ocurrencia de los demás; es decir: P(A  B) = P(A)P(B) De otra manera, los eventos son dependientes. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

79 Eventos Independientes Se dice que dos eventos A y B son independientes si el hecho de que ocurra uno de ellos no influye en la probabilidad de que ocurra el otro; es decir: P(A  B) = P(A)P(B) De otra manera, los eventos son independientes. T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD

80 Ejemplo En la población hay 51% de varones y 49% de mujeres, y las proporciones de varones y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla : T EORÍA DE LA P ROBABILIDAD Daltonismo Género Total Varones (B) Mujeres (B c ) Si (A) 0.040.0020.042 No (A c ) 0.470.4880.958 Total0.510.491.00

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82 Referencias bibliográficas Celis de la Rosa, A. de J. y Labrada M., V. (2014). Bioestadística. México: Manual Moderno. ISBN: 978-607-448-423-6. De Oteysa, E., Lam, E., Hernández, C., y Carrillo, A. (2015). Probabilidad y Estadística. México: Pearson. ISBN: 978-607-32-3401-6. Devore, J. (2012). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. México: Cengage. ISBN-978-607-481-619-8. Garza O., B. (2014). Estadística y Probabilidad. México: Pearson. ISBN: 978-607-32-2783-4. Gutiérrez B., A. L. (2012). Probabilidad y estadística, un enfoque por competencias. México: McGraw Hill. ISBN978-607-15-0712-9. Johnson, R. A. (2012). Probabilidad y Estadística para Ingenieros de Miller y Freud. México: Pearson. ISBN: 978-607-32-0799-7. Johnson, R., y Kuby, P. (2012). Estadística Elemental. México: Cengage. ISBN: 978-607-481—807-9. Martín, P., L. (2001). Historia de la Probabilidad y la Estadística. España: AHEPE. Mendenhall, W., Beaver, R. J. y Beaver, B. M. (2008). Introducción a la Probabilidad y Estadística. México: Thomson. ISBN: 978-970-686-794-0. Pagano, M. y Gauvreau, K. (2001). Fundamentos de Bioestadística. México: International Thomson Editores.

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