1 Uniewersytet Gdański, Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Żonglowanie – podrzucanie piłek czy liczb? Maciej Stankiewicz, Bartłomiej Sulich Opiekun naukowy: Dr Barbara Wolnik X Bałtycki Festiwal Nauki, Gdańsk 2012

2 Agenda ● Wstęp ● Krótko o żonglerce ● Notacja siteswap ● Większa dawka matematyki ● Po co to jest? ● Podsumowanie ● Filmy

3 Historia Żonglerki ● "Najwcześniejsze znane przedstawienie żonglerki pochodzi z egipskiego 15. grobowca Beni Hassan datowanego na 1994-1781 p.n.e" [2] ● "Evans wykazał, że przedstawienia o charakterze cyrkowym były prezentowane publicznie już około 2400 r p.n.e" [3] ● "W starożytnym Egipcie już około 4600 p.n.e nad Nilem prezentowali swoje umiejętności kuglarze." [3]

4 Definicja Żonglerki ● Żonglerka tradycyjna to podrzucanie przedmiotów w taki sposób, że w jednym momęcie w ręce znajduje się co najwyżej jeden przedmiot. ● Wymagane też jest aby ilość piłek była większa od ilości rąk co dla nas oznacza że żonglerka zaczyna się od 3 przedmiotów. ● Dodatkowo przyjmiemy że ręce rzucają na przemian raz prawa, raz lewa.

5 Jak opisywano żonglerkę kiedyś? ● Nazwy własne trików (kaskada, fontanna, prysznic) ● Nazwy określające modyfikacje trików (mills mess, backcross) ● Nazwy różniły się w zależności od języka, rejonu i okresu. Dotyczyły one też tylko małej grupy najbardziej popularnych kombinacji. Reszta wymagała długich i mało precyzyjnych opisów.

6 Początki notacji siteswap ● Notacja siteswap została stworzona niezależnie przez 3 grupy naukowców: [4][8] ● 1) Santa Cruz California w 1981 ● 2) California Institute of Technology w 1985 ● 3) University of Cambridge w 1985 ● Notacja ta opisuje żonglerkę asynchroniczną.

7 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ●

8 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ● 333333333333... = 3 ●

9 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ● 333333333333... = 3 ● Fontanna: CZNRCZNRCZNR... ●

10 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ● 333333333333... = 3 ● Fontanna: CZNRCZNRCZNR... ● 444444444444... = 4

11 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ● 333333333333... = 3 ● Fontanna: CZNRCZNRCZNR... ● 444444444444... = 4 ● Prysznic: CZZNNCCZZNNC... ●

12 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ● 333333333333... = 3 ● Fontanna: CZNRCZNRCZNR... ● 444444444444... = 4 ● Prysznic: CZZNNCCZZNNC... ● 515151515151... = 51 ●

13 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ● 333333333333... = 3 ● Fontanna: CZNRCZNRCZNR... ● 444444444444... = 4 ● Prysznic: CZZNNCCZZNNC... ● 515151515151... = 51 ● (Wieża?): CZNNZCCZNNZC ●

14 Wprowadzenie do siteswapów na podstawie [4] ● Kaskada: CZNCZNCZNCZN... ● 333333333333... = 3 ● Fontanna: CZNRCZNRCZNR... ● 444444444444... = 4 ● Prysznic: CZZNNCCZZNNC... ● 515151515151... = 51 ● (Wieża?): CZNNZCCZNNZC ● 531531531531... = 531

15 Co w praktyce oznaczają liczby?

16 Walidacja siteswapów ● Siteswap to ciąg liczb całkowitych nieujemnych ● Skąd wiemy czy dany ciąg liczb "można żonglować"?

17 Matematyczna definicja siteswapu

18 Zagadka ● Jak na podstawie siteswapu określić ilość piłek?

19 Zagadka ● Jak na podstawie siteswapu określić ilość piłek? ● Podpowiedzi: ● 3: 3, 441, 423, 531, 51, 12345 ● 4: 4, 71, 7531 ● 5: 5, 91, 97531, 744

20 Twierdzenie o Wartości Średniej Ilość piłek = suma liczb / długość ● Dowód można znaleźć np. w [1] s. 13

21 Twierdzenie (ilość siteswapów) ● Wszystkich siteswapów jest nieskończenie wiele ● Jeśli ograniczymy się do konkretnej ilości przedmiotów i siteswapów o określonej długości to ilość różnych siteswapów wynosi: ● N(b,n) = (b+1) n-bn ● Gdzie b – ilość przedmiotów, n – długość sekwencji ● Dowód można znaleźć np. w [1] s. 24

22 Rozszerzenia notacji siteswap Istnieje wiele rozszerzeń notacji siteswap które umożliwiają żonglerom opisywanie bardziej złożonych trików np: ● Notacja synchroniczna ● Notacja multiplexowa ● Notacja synchroniczno - asynchroniczna ● Notacje wieloosobowe (4-hand notation, Prechac notation, Causal Diagrams) ● Inne (Multi Hand Notation, diagramy stanów, notacja stosu i wiele innych)

23 Zaawansowane aspekty matematyczne ● Diagramy stanów ● Siteswapy pierwsze ● Właściwości numeryczne ● Inne twierdzenia (np. częściowe twierdzenie odwrotne do Twierdzenia o Wartości Średniej) ● Karty żonglerskie ● Inne, jeszcze bardziej zaawansowane (definicja funkcyjna siteswapów, grupy warkoczowe, algebra siteswapów, żonglerka losowa, aksjomatyczne generowanie siteswapów[6] itd.)

24 Diagramy Stanów źródło grafiki: [5]

25 Po co żonglerom siteswapy? ● Komunikacja ● Pomoc w treningu ● Tworzenie nowych trików ● Inne (łączenie siteswapów, poziom trudności, szukanie podobnych, analiza itd)

26 Czego nie opisują siteswapy? ● Notacja siteswap mimo iż jest bardzo rozbudowana nie opisuje wielu aspektów żonglerki: ● Ustawienia i ruchu żonglera(ów) ● Pozycji i ruchu rąk (np mills mess, inside, oustide) ● Wysokości wyrzutów ● Wielu niestandardowych rytmów (gallop rhythm, slow-fast passing) w tym przypadku można użyć Multi Hand Notation

27 Czy zostało coś jeszcze do odkrycia? ● Istnieje wiele niezbadanych lub nierozwiązanych problemów matematycznych związanych z siteswapami ale czy jest jeszcze coś co mogło by przydać się żonglerom? ● Jak najbardziej! ● Cały czas pojawiają się nowe pomysły np. Sposób opisu żonglerki wieloosobowej z przechodzeniem (takeouts) [7].

28 Luke Burrage http://www.lukeburrage.com/ 3 piłki – wideo

29 Gandini Juggling http://www.gandinijuggling.com/ i-juggle white - wideo

30 Bibliografia ● [1] Dr Anthony Mays – (2006) “Combinatorial aspects of juggling“. ● [2] Prof. Arthur Lewbel – (2002) “Research in Juggling History“. ● [3] Mgr Agnieszka Kwiatkowska - „Sztuka cyrkowa - sztuka ludzkich możliwości“. ● [4] Prof. William Murray - “Mathematics & Juggling“ – nagranie wykładu (obecnie niedostępne). ● [5] The Internet Juggling Database (2001 – 2012). ● [6] Ben Beever – (2002) “Guide to Juggling Patterns“ - http://www.giocoleria.org/manuali/Ben Guide to Juggling Patterns.pdf http://www.giocoleria.org/manuali/Ben Guide to Juggling Patterns.pdf ● [7] Aidan Burns - “Siteswap Made Simple“ - http://www.geocities.ws/aidanjburns. ● [8] Grupa dyskusyjna rec.juggling (od 1990). ● I wiele innych

31 Dziękujemy za uwagę. Pytania? Prezentacja jest dostępna w internetcie pod adresem: www.passfactory.art.pl/milten

32 Żonglerskie prawdy i mity ● Żonglerka nawet 3 piłkami jest bardzo trudna i potrzeba do niej talentu. ● (95%-99% ludzi może nauczyć się żonglować 5 piłkami) ● Około 200 milionom osób udało się zażonglować 3 piłkami. ● Trudnosc żonglerki rośnie wykładniczo względem liczby przedmiotów (bardzo szybko). ● Prawdopodobnie żonglerka więcej niż 15 przedmiotami przewyższa ludzkie możliwości.