1 UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL Ingeniería en Sistemas Computacionales S1M Facultad de Ciencias Matemáticas y Físicas

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5 Geometría Plana  La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.  Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento. Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.  En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclídea es sinónimo de geometría plana y de geometría clásica.

6 Términos no definidos de la geometría  Punto.  Línea recta.  Línea curva.  Línea quebrada.  Línea mixta.  Línea paralela.  Línea perpendicular.  Línea vertical.  Línea horizontal.

7 Operaciones con segmentos  Trazar una recta cualquiera donde se colocará la suma de los tres segmentos. Indicamos el inicio (O) del segmento suma, por ejemplo el punto O.  Con ayuda del compás (no de la regla milimetrada) se coge la medida del segmento AB y se lleva a continuación del punto O.  De la misma forma, llevamos los segmentos CD y EF.  Obtenemos el último punto, el punto O’. El segmento resultante de sumar AB+CD+EF, es el segmento OO’.  Se traza una recta r cualquiera, indicando el punto (O) donde se iniciará el resultado de la resta de segmentos.  Con la ayuda del compás, se coge la medida del segmento AB y se coloca al partir del punto O.  A partir de esta medida, se lleva el otro segmento, pero en sentido contrario, es decir, hacia O. Obtenemos el punto O’.  El resultado de la resta AB-CD es OO’

8  Se traza una recta r cualquiera, indicando el punto (O) donde se iniciará el resultado de la multiplicación.  Con la ayuda del compás, se coge la medida del segmento AB y se coloca al partir del punto O tantas veces (en nuestro caso 4) como indica el número. Se consigue el punto O’. El resultado de la multiplicación es OO’.  Desde un extremo del segmento AB, por ejemplo el A, se traza una recta cualquiera, por ejemplo la s.  Con una abertura cualquiera en el compás, se lleva 5 veces la misma medida sobre la recta s.  El último punto que se obtiene (en nuestro caso el 5) se une con el otro extremo del segmento, el B.  Por el resto de las divisiones, se trazan paralelas a la última línea trazada (la formada entre los puntos 5 y B) y todos los cortes en el segmento AB serán las divisiones del segmento.

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10 Figuras Geométricas  Una figura geométrica es un conjunto no vacío cuyos elementos son puntos. Estas figuras entendidas como lugares geométricos son áreas cerradas por líneas o superficies en un plano o en el espacio.  Las figuras geométricas planas y solidas, aquellas con dos o tres dimensiones respectivamente, se forman con la combinación de otras figuras geométricas más elementales y de menos dimensiones como la línea o el punto.  También se le conoce como polígonos.  Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.  Un polígono irregular no tiene todos sus lados ni ángulos iguales.

11 Clasificación de los polígonos según su numero de ángulos

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13 Rectas y Ángulos en el Plano  Recta  En geometría euclidiana, la recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.  Angulo  Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

14 Rectas

15  RECTA.- Es una sucesión infinita de puntos que tienen la misma dirección. La recta no tiene ni principio ni fin. Por dos puntos del plano pasa una única recta.se representa por medio de una letra minúscula.  SEMIRRECTA.- Un punto de una recta la divide en dos semirrectas. La semirrecta tiene principio pero no tiene fin.  SEGMENTO.- Es la porción de recta limitada por dos puntos de la misma. A estos dos puntos se les llama extremos del segmento. r

16 Ángulos

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25 Polígonos  Un polígono es una figura plana, cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados.  Según sus lados: Cóncavo Todos sus ángulos menores que 180°. Convexo Si un ángulo mide más de 180°.

26 Polígonos Estrellados  Es aquel que sus lados se cruzan para formar una estrella. De acuerdo al número de lados toman los siguientes nombre:  Los demás polígonos son nombrados por el numero de sus lados.

27  Polígonos regulares: Si tienen todos los lados iguales y los ángulos de la misma medida entre si.  Polígonos Irregulares: Si no cumple ninguna de las condiciones para ser regular.

28 Elementos de un polígono  Lado: son los diferentes segmentos de recta que limitan la figura y que en ningún caso pueden ser menores que tres.  Vértice: Es el punto de intersección de dos segmentos contiguos.  Perímetro: Es igual a la ∑ de la longitudes de los lados.  Diagonal: es la recta que va de un vértice a otro que no sea consecutivo.  Angulo: Es la abertura entre 2 ángulos consecutivos.  Radio: se llama radio de un polígono,el segmento de recta que une el centro del polígono con cualquier vértice.  Apotema: se llama apotema al segmento de la recta que partiendo del centro cae perpendicular en el punto medio de cualquiera de sus lados.  Angulo central: Es el formado por dos radios que parten del centro a los dos extremos de un mismo lado.

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30 Triángulos  Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos

31 LINEA Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO  Altura: Es la perpendicular trazada de uno de los vértice hasta el lado opuesto. Su intersección se llama ortocentro.  Medianas: es el segmento trazado de uno de los vértices hasta el punto medio,y la intersección se llama baricentro.  Mediatriz: es la perpendicular por el punto medio de cada lado y la intersección de esta se llama circuncentro.  Bisectriz: es la recta que corta al Angulo en dos partes iguales y su punto de intersección se llama incentro.

32 Relaciones métrica de los triángulos Teorema  Si dos lados son iguales, los ángulos opuesto a ello también lo son.  Todo triangulo equilátero es equiángulo, por consiguiente sus ángulos son iguales al igual que su lados. Bisectriz del Angulo vértice del triangulo isósceles  Se llama Angulo vértice de un triangulo isósceles al formado por los lados iguales. Divide al lado opuesto en 2 triángulos iguales.  Si se traza la altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo rectángulo se cumple que:  los triángulos rectángulos resultan semejantes entre si y semejantes al triangulo original.

33 Área de un Triangulo

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35 Definiciones Básicas  La circunferencia es el borde.  El círculo es el interior.

36 Ángulos en la circunferencia  Ángulo inscrito en la circunferencia: Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma (si las cuerdas se prolongan, diremos que son dos rectas secantes).

37  Ángulo central o del centro en la circunferencia: El ángulo central o del centro es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios.  Ángulo semiinscrito en la circunferencia: El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB.

38  Ángulo interior: Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.  Ángulo exterior: Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

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40 Definiciones Básicas  Polígonos: Un polígono es una porción finita de plano limitada por líneas rectas. Según el número de vértices o lados, los polígonos reciben una denominación diferente: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, etc.  Cuadrilátero: Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas, pero, como puede comprobarse en la escena superior, todos ellos tienen: cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y dos diagonales. Además, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

41 Líneas y puntos fundamentales de los polígonos regulares  Centro: Punto interior que equidista de cada vértice.  Radio: Es el segmento que va del centro a cada vértice.  Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado.

42 Clasificación de los cuadriláteros.

43 Teoremas de los polígonos  POLÍGONO CONVEXO.- Aquellos que tienen su línea poligonal respecto a una curva exterior.  POLIGONO CÓNCAVO.- Esta formado por una línea cóncava que tiende a una curvatura hacia adentro.

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45  Corresponde a una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies. Definición Básica

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