1 UPC Funciones reales Tema: de varias variablesUNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS UPC Funciones reales de varias variables Tema:

2 Gráficas de algunas superficies

3 Funciones reales de dos variablesSea D contenido en R2. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y) es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)

4 Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el cual tiene sentido la regla que define a f. Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D} Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k, cte. real

5 Curvas de nivel

6 DERIVADA PARCIAL RESPECTO XZ Y X

7 Interpretación geométrica de derivada parcial

8 Ejemplo: Si Entonces:

9 Otras notaciones z = f(x,y)

10 Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

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12 Ejemplo: hallar fx y fy si

13 Derivadas parciales de segundo orden

14 Derivadas parciales de segundo orden

15 Ejemplo hallar Si

16 Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

17 DERIVADAS DIRECCIONALESz y x

18 Interpretación geométrica de derivada direccional

19 Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: si el límite existe.

20 Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

21 Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).

22 GRADIENTE z y x

23 Ñ del s en término direccional Derivada

24 Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.

25 Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .