1 Valor que toma la variable aleatoriaProbabilidad y Estadística Mediremos un atributo X = x Valor que toma la variable aleatoria Variable aleatoria Unidad de muestreo

2 Probabilidad y EstadísticaSea S el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria X, que llamaremos Espacio de Estado Al espacio de estado S lo dotaremos con una probabilidad, de tal manera que “refleje” de buena manera, como modelo, la situación que queremos estudiar (predecir) Conforme sea la estructura de S obtendremos probabilidad discreta o no discreta

3 Probabilidad y EstadísticaSi S es el conjunto de los números reales, o un intervalo de números reales, ¿cómo definimos una probabilidad? Supongamos que S es el conjunto R de los números reales, entonces si existe una función f real no negativa tal que

4 Probabilidad y EstadísticaEntonces esta función define una probabilidad sobre los números reales R, de la manera siguiente Y este valor se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria X se encuentre entre los valores a y b

5 Probabilidad y EstadísticaUn capítulo esencial en la teoría de la probabilidad es “mostrar buenas” funciones reales no negativas que satisfagan que la integral sobre toda la recta real sea 1. Pero lo esencial es que este tipo de funciones, que se llaman funciones de densidad, efectivamente generen probabilidades que sean frecuentes en la naturaleza y en los procesos humanos.

6 La función de densidad “normal”Probabilidad y Estadística La función de densidad “normal” media varianza

7 Probabilidad y EstadísticaLa densidad normal a X b

8 Propiedades de la densidad “normal”

9 Papel de la desviación estándar en la densidad normalm - s m + s Puntos de inflexión (la curva cambia de concavidad)

10 Una tabla de frecuenciaMuchos fenómenos siguen este tipo de curva Una tabla de frecuencia

11 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística Medimos un mismo atributo sobre n unidades de muestreo Y el gráfico de frecuencia fue así ... Unidad de muestreo

12 Inferencia Estadística ¿qué parámetros tiene la población?Probabilidad y Estadística Inferencia Estadística Población s2 Con estos simples gráficos parece claro que el atributo X de la población, en base a la muestra que se tomo, se distribuye según una ley de densidad normal m ¿qué parámetros tiene la población?

13 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística Población s2 Se “estiman” estos parámetros mediante máxima verosimilitud m

14 Inferencia Estadística Intervalo de confianza para mProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística m s2 Con los valores de y trataremos de inferir los verdaderos valores de Intervalo de confianza para m Se sabe que si cada variable sigue una densidad normal con m y s2 entonces sigue una ley de densidad llamada t - student con n - 1 grados de libertad (tiene casi la misma forma que la normal)

15 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística T

16 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística T Intervalo para la media con una confianza de 1- a

17 Inferencia Estadística Intervalo de confianza para s2Probabilidad y Estadística Inferencia Estadística Intervalo de confianza para s2 Se sabe que si cada variable sigue una densidad normal con m y s2 entonces sigue una ley de densidad llamada Ji-cuadrado con n - 1 grados de libertad (está concentrada en el eje positivo)

18 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística 5 10 15 20 25 30 J Intervalo para la varianza con confianza de 1- a

19 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística Diferencia de medias Ambas variables miden el mismo atributo, pero en distintas poblaciones

20 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística

21 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística Un estimador de la varianza basada en las dos muestras es Por otro lado, se demuestra que Sigue una distribución t-student con n+m-2 grados de libertad

22 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística Por lo tanto un intervalo de confianza (1- a) para la diferencia de medias está dado por Percentil (1-a/2)100 de la distribución t-student con n+m-2 grados de libertad

23 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística Cociente de varianzas Ambas variables miden el mismo atributo, pero en distintas poblaciones

24 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística

25 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística

26 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística Ambas son independientes. Entonces Sigue una distribución F de Fisher con (n - 1) grados de libertad en el numerador y (m - 1) grados de libertad en el denominador.

27 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística 5 10 15 20 25 30

28 Inferencia EstadísticaProbabilidad y Estadística Inferencia Estadística 5 10 15 20 25 30 Intervalo de confianza para la razón