1 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS

2 Distribuciones MultivariantesSea X = (X1, X2,..., Xk) vector aleatorio PX : Bk R caracterizada por FX , fX (discreta, continua, mixta). Consideremos k=2 : : función de Distribución conjunta X=(X1,X2) : función de densidad (cuantía) FXi(xi): función de Distribución marginal de Xi, i=1,2 fXi(xi): función de densidad marginal i=1,2

3 Distribuciones Multivariantes

4 Distribuciones Multivariantes

5 Ejemplos de Vectores Aleatorios DiscretosSea X = ( X1, X2) vector aleatorio discreto, con Xi variable aleatoria que representa el número de fallas del turno i. La siguiente tabla nos proporciona la función de cuantía conjunta: 0 0,1 0,2 0,2 1 0,04 0,08 0,08 2 0,06 0,12 0,12

6 1. Determinar las cuantías marginalesEjemplos de Vectores Aleatorios Discretos 1. Determinar las cuantías marginales 2. Determine las cuantías condicionales

7 Solución 1. Cuantías marginales

8 Solución 2. Cuantías condicionales

9 Nota Obtenga además: 1. 2. 3.

10 Ejemplo de vectores aleatorios continuosSea X = (X1, X2) vector aleatorio continuo, con densidad: Calcular:

11 Solución

12 Solución

13 g es una transformación invertible con derivadas parciales continuas Transformaciones de Vectores Aleatorios Sea X vector aleatorio continuo con densidad conjunta , y sea con g: D  R2 R2 función vectorial. Si se cumple: D conjunto abierto: g es una transformación invertible con derivadas parciales continuas Existe En tal caso

14 Función de Regresión Sea X = ( X1 , X2 )vector aleatorio y seafunción de densidad marginal de X2. Además, sea M = { x2 : } y sea g : D  R R. Consideremos  : M R /  (X2) = E[g(X1)/X2].  se llama función de regresión de g(X1) en X2.

15 Función de Regresión Propiedades: 1. 2. 3. Entonces:

16 Ejemplo de TransformacionesSean X1 , X2 v.a.c. y sean también Encontrar: 1. 2. 3. 4. ¿ Es y1  y2 ?

17 Con Y1>0 ; Y2>0 ; Y1Y2<1 ; Y2/Y1<1Solución X1 , X2  ]0,1[ X12=Y1Y2 X22=Y2/Y1 Con Y1>0 ; Y2>0 ; Y1Y2<1 ; Y2/Y1<1 Sean Y1= g1(x1 , x2) Y2= g2(x1 , x2) X1= h1(x1 , x2) X2= h2(x1 , x2)

18 Solución 1. 2. 3.

19 Solución 4. no son independientes

20 Esperanza y Varianza Sean X , Y v.a. y  , C  R

21 Esperanza y Varianza Sean X , Y v.a. y  , C  R

22 Esperanza y Varianza Sean X1, X2,..., Xn v.a.independientes:En general para X1, X2,..., Xn v.a.cualesquiera:

23 Distribución (Binomial): n , p=p1 , q=1-p=p2Ejemplos de Distribuciones Continuas Distribución (Binomial): n , p=p1 , q=1-p=p2 Ejemplos de Distribuciones Multivariadas

24 Ejemplos de Distribuciones MultivariadasDistribución (Polinomial): n , p1, p2,..., pk

25 Ejemplos de Distribuciones MultivariadasDistribución Normal (Bivariada): X  N(,) o bien Además

26 Ejemplo de Distribuciones MultinomialLas probabilidades de que cierta lámpara de un modelo de proyector dure menos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y más de 80 horas de uso interrumpido son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lámparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80 horas.

27 Ejemplo de Distribuciones MultinomialSolución: n=8 ; p1=0,3 ; p2=0,5 ; p3=0,2 x1=2 ; x2=5 ; x3=1

28 Propiedades Normal Bivariada

29 Propiedades Normal BivariadaAnálogamente se tiene que:

30 Aplicación Normal BivariadaDos elementos (X,Y) se distribuyen como N (  ,  ), siendo : Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X. - ¿Cuál es el valor más probable de Y?

31 Solución La respuesta consiste en encontrar: gramos

32 Problema de Tarea Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión se distribuye como N ( 100 ; 20 ) y la capacidad como N ( 140 ; 10 ), calcular la probabilidad de avería, suponiendo independencia.