1 VARIOGRAMA

2 VARIOGRAMA EXPERIMENTAL VARIOGRAMA TEÓRICOContenido VARIOGRAMA EXPERIMENTAL VARIOGRAMA TEÓRICO Propiedades básicas Definición Estudio de modelos de variograma Cálculo a partir de los datos Características básicas Definición Ajuste de modelos de variograma

3 Variograma Teórico-DefiniciónEs una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada Detectar direcciones de anisotropía Ejemplo: Zonas de influencia y su extensión (correlación espacial) Variabilidad con la distancia

4 Variograma Teórico-DefiniciónContinuidad espacial B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 3 7 9 8 2 4 6 MEDIA = 5 VARIANZA=50/9 HISTOGRAMAS IGUALES

5 Variograma Teórico-DefiniciónContinuidad espacial

6 Variograma Teórico-DefiniciónContinuidad espacial

7 Variograma Teórico-Definición Curva de proporción verticalUnidad 2 Unidad-5 Unidad 1 Unidad-4

8 Variograma Teórico-Definición Curva de proporción vertical

9 Variograma Teórico-Definiciónes estacionaria o intrínseca Si

10 Variograma Teórico-CaracterísticasValor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la propiedad en dos puntos separados por una distancia |h| es independiente de la localización x depende del módulo y de la dirección del vector h

11 Variograma Teórico-CaracterísticasDetección de características que varían según la dirección y la distancia

12 Variograma Teórico-Características

13 Variograma Experimental-definición Variograma ExperimentalVariograma Teórico Variograma Experimental

14 Variograma Experimental-definiciónCoordenadas estratigraficas La correlación espacial se debe calcular dentro de la misma unidad estratigráfica

15 Variograma Experimental-obtenciónSe escoge una dirección Se escoge una distancia o lag h Se calcula para valores de h,2h, 3h,...,nh Se grafica versus los valores h,2h, 3h,...,nh

16 Variograma Experimental-obtención Datos Igualmente espaciados:h

17 Variograma Experimental-obtención Datos Igualmente espaciados:h

18 Variograma Experimental-obtención Datos Irregularmente espaciados:Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección

19 Variograma Experimental-distanciaClases de distancia: Para cada lag h se define una tolerancia y se utilizan únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o igual a y menor que h 2h 3h

20 Las clases de distancia no se superponenVariograma Experimental-distancia Clases de distancia: El valor de se escoge como el 50% del valor del lag h. De esta forma: Las clases de distancia no se superponen No hay valores de la variable fuera de una clase de distancia

21 Variograma Experimental-distancia1.2 2.4 2.8 4.9 1 2 3 4 5 6 1.2 2.4 2.8 4.9 1.2 2.4 2.8 4.9

22 Variograma Experimental-distancia

23 Variograma Experimental-direcciónClases de dirección : Para cada dirección se define una tolerancia y se utilizan únicamente los puntos que se encuentran entre las direcciones y

24 Variograma Experimental-direcciónpuntos descartados puntos aceptados

25 Variograma Experimental-direcciónpuntos aceptados puntos descartados b = ancho de banda

26 Variograma Experimental-distancia & direcciónclase de distancia h h 2h 3h clase de distancia 2h clase de distancia 3h z(x)

27 Variograma Experimental-obtención

28 Variograma Experimental-obtenciónValor del lag h Número n de lags Valor de y n: Cuando se calcula el variograma sobre un dominio D se escoge n de forma tal que: n*h < | D | / 2 h: Distancia promedio entre los pozos A partir del variogram cloud A partir del variograma omnidireccional Se escoge como la dirección de anisotropía de la variable. Se puede obtener a partir de: Información geológica, petrofísica, etc Mapa de variograma :

29 Variograma Experimental-lagLag h muy grande 1.2 2.4 2.8 4.9 Lag h pequeño, n muy grande 1.2 2.4 2.8 4.9 Lag h adecuado, valor de n ?

30 Variograma Experimental-lag

31 Variograma Omnidireccional:Es aquel que no depende de la dirección Se obtiene al escoger la tolerancia angular de forma tal que las direcciones y sean opuestas y perpendiculares a la dirección Se puede pensar como el promedio del variograma experimental en todas las direcciones posibles

32 Variograma OmnidireccionalVariograma direccional Variograma omnidireccional

33 Variogram Cloud Variogram Cloud: Al graficar el valor de los pares versus la distancia se obtiene el variogram cloud

34 Permite detectar valores atípicos o cambios bruscosVariogram Cloud Variogram Cloud: Permite detectar valores atípicos o cambios bruscos Permite escoger un valor inicial del lag Permite observar la dispersión alrededor del valor de

35 Variogram Cloud

36 Mapa de Variograma Mapa de Variograma : Es una herramienta que permite determinar las direcciones de anisotropía de la variable en estudio

37 Definir una malla (2n+1)*(2n+1)Mapa de Variograma Definir una malla (2n+1)*(2n+1) Definir el valor del lag h Asignar a cada bloque el valor de h

38 Mapa de Variograma

39 Variograma Experimental-tolerancia angular

40 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS

41 Variograma-Características Básicas1) RANGO Y SILL 2) COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS 3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS 4) ANISOTROPÍAS

42 Variograma-Rango & SillDistancia a la cual el variograma se estabiliza Sill : Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango

43 Variograma-Rango & SillSi para una distancia dada d las variables Z(x) y Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma es constante Rango: Distancia a partir de la cual no hay correlación Sill: Varianza de la función aleatoria Z

44 Variograma-Rango & Sill

45 COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIASPermite estudiar cuán rápido puede variar la variable en estudio a pequeñas distancias. Básicamente el variograma presenta las 4 formas siguientes: 1) DISCONTINUO 2) LINEAL 3) CUADRÁTICO 4) HÍBRIDOS

46 Comportamiento discontinuo Efecto pepita o nugget effectPuede ocurrir que para distancias cercanas a cero el valor del variograma no se aproxima a cero

47 Z(x) y Z(x+h) difieren muchoComportamiento discontinuo Interpretación del nugget effect 1) Variable muy irregular a distancias cortas Z(x) y Z(x+h) difieren mucho no se aproxima a cero

48 Comportamiento discontinuo Interpretación del nugget effect2) Errores de medición en las variables

49 Comportamiento discontinuo Interpretación del nugget effect3) presencia de estructuras o ausencia de valores en distancias inferiores a las que se tomaron las muestras

50 Comportamiento Lineal Comportamiento linealIndica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento lineal. Representa variables continuas pero no diferenciables. Así, la propiedad puede cambiar rápidamente de un punto a otro.

51 Comportamiento Lineal Comportamiento linealLa variabilidad de la propiedad dependerá de la pendiente de la recta en el origen A mayor pendiente, mayor variabilidad A menor pendiente, menor variabilidad

52 Comportamiento Cuadrático Comportamiento CuadráticoIndica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento cuadrático. Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables. Así, la propiedad NO puede cambiar rápidamente de un punto a otro.

53 Comportamiento Híbrido Comportamiento Híbrido:Variación más suave a distancias cortas Variación más fuerte a distancias grandes Indica presencia de estructuras actuando a diferentes escalas

54 Comportamiento-grandes distancias VARIABLE NO ESTACIONARIAComportamiento a grandes distancias : NO TODOS LOS VARIOGRAMAS POSEEN UN RANGO Y UN SILL FINITO INDICA LA PRESENCIA DE UNA DERIVA O DRIFT VARIABLE NO ESTACIONARIA

55 Comportamiento-grandes distanciasDrift Estimación del variograma Variograma Teórico Sesgo

56 Comportamiento-grandes distanciasD1=E-O D2=N-S

57 Anisotropía GeométricaAnisotropías Anisotropías : Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia. Anisotropía Geométrica Anisotropía Zonal Anisotropía Híbrida

58 Anisotropía Geométrica Anisotropía Geométrica :Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos Mayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango

59 Anisotropía Geométrica

60 Anisotropía Geométrica

61 Anisotropía Zonal : Anisotropía ZonalEs aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill Presencia de diferentes estructuras

62 Anisotropía Zonal

63 Anisotropía Híbrida : Anisotropía HíbridaEs aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill. Presencia de diferentes estructuras Característico de variogramas horizontales y verticales

64 COMENTARIOS

65 COVARIANZA VS VARIOGRAMAEl variograma se puede utilizar para modelar fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por el desconocimiento de la media. Cuando la media es constante pero desconocida no se necesita para el cálculo del variograma, pero si para el de la covarianza. Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria) la covarianza no está definida en 0, sin embargo el variograma si y es idénticamente nulo

66 Comentarios CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA Fuente información 1 La correlación estadística usual es calculada a distancia cero (dos observaciones en el mismo punto del espacio) y puede no ser representativa El variograma toma en cuenta el espaciamiento y por lo tanto permite ”correlacionar espacialmente” Fuente información 2

67 Es un estadístico de 2 puntosComentarios LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA Es un estadístico de 2 puntos Utilizar técnicas multipuntos y reconocimiento de patrones

68 LIMITACIONES DEL VARIOGRAMAComentarios LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA Es extremadamente sensible a valores extremos 7 10 11 12 13 14 9 8 7 10 11 12 25 14 13 2 9 8

69 DEL VARIOGRAMA EXPERIMENTAL AL MODELO DE VARIOGRAMA

70 Ajustar POR QUE HAY QUE CONSTRUIR MODELOS DE VARIOGRAMA ?El variograma experimental no se puede evaluar en distancias o direcciones intermedias Una interpolación entre los puntos del variograma experimental no garantiza la existencia y unicidad de la solución del sistema de kriging La interpolación no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer El variograma experimental no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer

71 Variograma Teórico-propiedadesLOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN VARIOGRAMA 1) 2) El variograma calculado en la dirección de h es igual al variograma calculado en la dirección de -h h -h

72 Variograma Teórico-propiedades3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional Para cualquier n, cualesquiera puntos en el espacio y cualesquiera valores tales que se tiene que Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones lineales de funciones aleatorias

73 Variograma Teórico-propiedades4) Relación con la función de covarianza Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que

74 Variograma Teórico-propiedades4) Si es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias Criterio para detectar un comportamiento no estacionario

75 Variograma Teórico-propiedades 4) Combinacion lineal de variogramasSi son modelos de variograma y son valores positivos entonces Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures) Permite modelar la anisotropía zonal

76 Variograma Teórico-propiedades+ =

77 Variograma Teórico-propiedades Modelar la anisotropía zonal

78 MODELOS DE VARIOGRAMA

79 Modelos de variograma isotrópicos más comunes:Modelo Efecto Pepita Puro Modelo Esférico Modelo Exponencial Modelo Gaussiano Modelo Cúbico Modelo Seno Cardinal Modelo Potencia

80 Modelo Efecto Pepita PuroEste modelo representa a un fenómeno completamente aleatorio, en el cual no hay correlación espacial No importa cuán cerca se encuentren los valores de las variables, siempre serán no correlacionados

81 Comportamiento lineal en el origenModelo Esférico Rango s y sill a Comportamiento lineal en el origen Pendiente igual a Representa fenómenos continuos pero no diferenciables Es uno de los modelos de variograma más utilizados

82 Comportamiento lineal en el origenModelo Exponencial Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a a Rango experimental igual a 3a Comportamiento lineal en el origen Pendiente igual a Representa fenómenos continuos pero no diferenciables

83 Rango experimental igual aModelo Gaussiano Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a a Rango experimental igual a Comportamiento cuadrático en el origen Representa fenómenos continuos infinitamente diferenciables (sumamente continuos)

84 Comportamiento cuadrático en el origenModelo Cúbico Rango a y sill s Comportamiento cuadrático en el origen Representa fenómenos bastante continuos

85 Comportamiento cuadrático en el origenModelo Seno Cardinal Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a a Rango experimental igual a 3a Comportamiento cuadrático en el origen Se utiliza para representar fenómenos continuos con periodicidades

86 s se denomina factor de escalaModelo Potencia s se denomina factor de escala El comportamiento en el origen depende del valor de p Representa fenómenos no estacionarios

87 DE MODELOS ISOTRÓPICOS A MODELOS ANISOTRÓPICOS

88 Modelo Anisotrópicos X Y Los ejes de anisotropía coinciden con los ejes de coordenadas Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1 Variograma anisotrópico de sill s con rango en la dirección del eje X y rango en la dirección del eje Y

89 Es un variograma anisotrópico en la direcciónModelo Anisotrópicos X’ Y’ X Y Los ejes de anisotropía NO coinciden con los ejes de coordenadas 1) Transformar los puntos del sistema de coordenadas XY al sistema de coordenadas X’Y’ = matriz de rotación 3) Evaluar el variograma isotrópico en el resultado. Es un variograma anisotrópico en la dirección con eje mayor igual a y eje menor igual a 2) Proceder como antes para ajustar la longitud de los ejes de anisotropía = matriz para transformar las distancias

90 comportamiento espacial en conjuntoVARIOGRAMA CRUZADO comportamiento espacial en conjunto

91 Variograma Cruzado Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como : Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

92 Variograma Cruzado-propiedades1) 2) 3) El variograma cruzado es una función simétrica 4) Relación con la función de covarianza cruzada

93 Variograma Cruzado-propiedades 4) Desigualdad de HölderConsecuencias: El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los variogramas individuales El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado

94 Variograma Cruzado-propiedades4) Modelo lineal de coregionalización Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas individuales modelos de variogramas

95 VARIOGRAMA DE FUNCIONES INDICADORASModelando el comportamiento espacial de Facies

96 Funciones IndicadorasLa función indicadora de la facies F se define como Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o no. En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria

97 Funciones Indicadoras 3) Relación con la función de covarianzaPropiedades 1) 2) El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5 3) Relación con la función de covarianza

98 Funciones Indicadoras4) Desigualdad Triangular En particular Consecuencia : Un variograma con comportamiento en el origen de la forma no puede ser el variograma de una función indicadora

99 Funciones Indicadoras5) Rango y Anisotropías R2 R1