1 Vectores fijos en el planoVector fijo: Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el origen al extremo. B Extremo A Origen
2 B A Elementos de un vectorEl módulo de un vector fijo es la longitud del segmento [AB] A B
3 tienen la misma dirección.Dirección de un vector Dirección de un vector fijo: es la recta sobre la que está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Todos estos vectores tienen la misma dirección.
4 Sentido de un vector Dos vectores con la misma dirección pueden tener el mismo sentido o distinto sentido. Según se realice el recorrido desde el punto origen al extremo del vector. Vectores con el mismo sentido Vectores con distinto sentido
5 Vectores equipolentes o equivalentesDos vectores fijos son equipolentes o equivalentes si tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido. Todos estos vectores son equipolentes.
6 Vectores libres en el planoDado un vector fijo en el plano, todos sus vectores equivalentes definen el mismo desplazamiento en el plano. Todos ellos determinan un vector libre en el plano. Cada vector fijo es un representante del vector libre. A B Todos los vectores de la figura forman el vector libre u . El vector fijo AB es un representante del vector libre u
7 Componentes de un vector libre IUn vector libre no es más que un desplazamiento en el plano. Este desplazamiento se puede descomponer en una componente horizontal y otra vertical. Desplazamiento vertical + - Desplazamiento horizontal + - El desplazamiento horizontal puede ser hacia la derecha (positivo) o hacia la izquierda (negativo). El desplazamiento vertical puede ser hacia arriba (positivo) o hacia abajo (negativo).
8 Componentes de un vector libre II2 El vector u Está determinado por una componente horizontal igual a tres (tres pasos hacia la derecha) y otra vertical igual a dos (dos pasos hacia arriba) u 3 Este desplazamiento lo podemos realizar en cualquier punto y siempre obtendremos el mismo vector (mismo módulo, dirección y sentido). F C D A B E
9 Componentes de un vector libre IIILas componentes de un vector libre se pueden calcular a partir del ángulo que forma el vector con la horizontal y el módulo del vector. u y a x Por tanto Esta forma de calcular las componentes de un vector se utiliza muy a menudo en Física.
10 Suma de vectores libres IColocamos el origen del segundo vector en el extremo del primer vector.
11 Suma de vectores libres II Regla del paralelogramoEn los extremos de cada vector trazamos líneas paralelas al otro vector formando un paralelogramo. La diagonal es la suma de los vectores.
12 -u -u -u Opuesto de un vectorEl opuesto de un vector es otro vector que tiene el mismo módulo y dirección que el primero pero con distinto sentido.
13 Diferencia de vectores libresu - v u – v = u + (- v )
14 Producto de un número real por un vectorEl módulo de k u es k veces (positivo) el módulo de u La dirección es la misma. Si k>0 el sentido es el mismo Si K<0 el sentido es contrario
15 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
16 EJEMPLO COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES I
17 EJEMPLO COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES IIDados los vectores anteriores vamos a calcular el vector
18 VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTESUn conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario decimos que son linealmente independientes. Dos vectores con la misma dirección son linealmente dependientes. Dos vectores con distinta dirección son linealmente independientes
19 BASES EN EL PLANO Dos vectores del plano linealmente independientes se dice que forman una base porque cualquier otro vector se puede poner como combinación lineal de ellos. Los dos vectores forman una base del conjunto de vectores del plano al tener distinta dirección Cualquier otro vector se puede calcular como combinación lineal de los anteriores. El procedimiento es el siguiente:
20 Coordenadas de un vector respecto de una baseColocamos los tres vectores con en el mismo origen. Prolongamos los vectores que forman la base Trazamos por el extremo del tercer vector paralelas a los vectores de la base. Los puntos de corte determinan la combinación lineal.
21 Coordenadas de un vector respecto de una base IIVamos a calcular las coordenadas de Respecto de la base B(u ,v ). a v u a v
22 Sistema de referencia cartesiano (ortonormal). Coordenadas cartesianasEsta formada por un punto fijo O y dos vectores perpendiculares y de módulo uno. X y 1 2 4 3 5 Cualquier otro vector se puede expresar como combinación lineal de esos vectores. A estas coordenadas las llamamos coordenadas cartesianas y coinciden con las componentes horizontal y vertical del vector. O
23 Operaciones con coordenadasy Suma: Resta: Producto por un número real k: Opuesto de un vector:
24 Vector de posición de un puntoX y 1 2 4 3 5 Vector de posición de un punto Fijado un sistema de referencia a cada punto P del plano se le asocia el vector OP . P Las coordenadas del punto P son las coordenadas del vector OP respecto de la base B( i , j ). El vector OP se llama vector de posición del punto P y también se escribe como p .
25 Cálculo de las coordenadas de un vector ABX y 1 2 4 3 5 a + AB = b AB = b - a A (a1,a2) a B (b1,b2) b AB = (b1-a1 , b2-a2) Las coordenadas del vector AB se calculan restando a las coordenadas del punto extremo las del punto origen.
26 Cálculo del módulo de un vectory X
27 Vectores paralelos (linealmente dependientes)Por tanto las coordenadas son proporcionales
28 Producto escalar de dos vectoresEl resultado del producto escalar de dos vectores es un número.
29 Propiedades del producto escalar1.Dados dos vectores no nulos: 90º
30 Propiedades del producto escalarEl producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo: Propiedad conmutativa: Propiedad distributiva:
31 Cálculo del producto escalarEjemplo:
32 Aplicaciones del producto escalar ICálculo del ángulo que forman dos vectores:
33 Aplicaciones del producto escalar IIVectores perpendiculares Cualquier otro vector paralelo a v será perpendicular a u . v u Ejemplo: Calcula tres vectores perpendiculares a u=(-5,3).