1 Vetores e Gradientes

2 |a|2 = ax2 + ay2 +az2 Notação para vetores Notação com parêntesis:Notação de versores i,j,k a = ax i + ay j +az k Módulo do vetor é calculado pelo teorema de pitágoras |a|2 = ax2 + ay2 +az2

3 Notação de versores i,j

4 Calculando o ângulo entre dois vetoresPor Definição Por convenção esta é a Notação para produto escalar

5 Produto escalar (simbolizado por um ponto em negrito entre dois vetores)𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑛=𝑖,𝑗,𝑘 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 Exemplo: A = (1,2,3) B = (0, -1,2) A∙B = (1,2,3) ∙(0,-1,2) = 1*0 - 2*1 +3*2 = = 4 E através da definição de produto interno, podemos calcular o ângulo entre A e B

6 Produtos internos em vetores multidimensionais:Norma (ou módulo, ou tamanho) de vetores multidimensionais: E pode ser escrita em termo do produto interno Exemplo em 3d: = = Exemplo:

7 Ortogonalidade: Dois vetores estão ortogonais quando o produto interno entre eles é zero. A palavra ortogonal é válida para qualquer dimensão do espaço, enquanto a palavra perpendicular é usada em espaços de 2 ou 3 dimensões.

8 Exemplo no Excel: Vetores, produto escalar, distância

9 Aplicações Determinar quais os dois estudantes que tem características acadêmicas mais similares Há quatro vetores A, B, C e D; Um para cada estudante. A dimensão de cada vetor é 5 Exemplo: Alberto = (5,3 ; 4.9; 4,4 ; 3,2 ; 2,8)

10 Aplicações Cada animal é um vetor e pode ter milhares de características. O calculo do ângulo pode ser feito rapidamente no Excel

11 Aplicação: Identificação de regiões espectralmente similares

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13 Gradiente

14 Gradiente

15 Curvas de Nível A água desce na direção inversa do gradiente de alturaTopologia

16 Gradiente Exemplo: Gradientes de Temperatura T(x,y,z)Gradientes de Pressão P(x,y,z) Gradientes de Energia Potencial U(x,y,z)

17 Gradiente

18 Gradiente: Derivada MultidimensionalEm cada ponto o gradiente é Único Analogia da montanha: em que direção cai a bola?

19 Derivada (é o gradiente em 1 dimensão)Seja a temperatura uma função apenas de x T =T(x) Qual o gradiente da temperatura? Grad(T) ou 𝜵𝑇 = dT/dx  Se o gradiente (ou derivada, neste caso) for zero a função não esta mundando com x Se o gradiente for grande, a função muda muito.

20 Derivada na direção x quando a função depende também de y, z, etcT = T(x,y,z) Simplesmente: dT/dx Porém, não é assim que se escreve. Para deixar claro que T também é função de outras dimensões escrevemos: 𝜕𝑇/𝜕x para representar a derivada. Somente x é considerado variável aqui, y e z são considerados constantes para essa derivadas. A letra 𝜕 é chamada de “derivada parcial”, parcial ou d-rond

21 Exemplo de derivada parcialT= T(x,y,z) = 3x2y/z Qual a derivada de T em relação a x? 𝜕𝑇/𝜕x = 6xy/z Exercicio em sala: Qual a derivada de T em relação a y?

22 Gradiente de uma função escalar é um vetorU(x,y) Típico perfil de energia Possiveis gradientes de temperatura T(x,y,z)

23 Calculo do vetor gradienteSe a função é f = f(x,y,z) o vetor gradiente desta função num ponto qualquer é: 𝜵𝑓 = ( 𝜕𝑓 𝜕x , 𝜕𝑓 𝜕y , 𝜕𝑓 𝜕z ) Pense em temperatura. A temperatura de uma sala varia de ponto para ponto. Em que direção essa temperatura varia de forma mais rápida? Isso é dado pelo gradiente.

24 Exemplos U(x,y) = 3sen(x)sen(y) Qual o gradiente desta função?

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