1 Vetores e Gradientes

2 |a|2 = ax2 + ay2 +az2 Notação para vetores Notação com parêntesis:Notação de versores i,j,k a = ax i + ay j +az k Módulo do vetor é calculado pelo teorema de pitágoras |a|2 = ax2 + ay2 +az2

3 Notação de versores i,j Os sistemas de eixo x,y,z são de tal forma que obedecem a regra da mão direita, ou seja, alinhado o polegar com o eixo z, os dedos da mão devem estar na direção do x para o y.

4 Vetores como uma lista de atributosCada dimensão é um atributo do objeto. Vetor = (Peso, Diâmetro, elipsidade, cor)

5 Calculando o ângulo entre dois vetoresPor Definição Por convenção esta é a Notação para produto escalar

6 Produto escalar (simbolizado por um ponto em negrito entre dois vetores)𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑛=𝑖,𝑗,𝑘 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 Exemplo: A = (1,2,3) B = (0, -1,2) A∙B = (1,2,3) ∙(0,-1,2) = 1*0 - 2*1 +3*2 = = 4 E através da definição de produto interno, podemos calcular o ângulo entre A e B

7 Produtos internos em vetores multidimensionais:Norma (ou módulo, ou tamanho) de vetores multidimensionais: E pode ser escrita em termo do produto interno Exemplo em 3d: = = Exemplo:

8 Ortogonalidade: Dois vetores estão ortogonais quando o produto interno entre eles é zero. A palavra ortogonal é válida para qualquer dimensão do espaço, enquanto a palavra perpendicular é usada em espaços de 2 ou 3 dimensões.

9 Exemplo no Excel: Vetores, produto escalar, distância

10 Aplicações Determinar quais os dois estudantes que tem características acadêmicas mais similares Há quatro vetores A, B, C e D; Um para cada estudante. A dimensão de cada vetor é 5 Exemplo: Alberto = (5,3 ; 4.9; 4,4 ; 3,2 ; 2,8)

11 Aplicações Cada animal é um vetor e pode ter milhares de características. O calculo do ângulo pode ser feito rapidamente no Excel

12 Aplicação: Identificação de regiões espectralmente similaresExemplo: 1024 comprimentos de onda medidos Cada um tem uma intensidade. Escrever como um vetor de 1024 dimensões. Cada substancia terá um vetor diferente. Podemos ver Quao próximas duas substancias são fazendo produto Interno desses vetores. Quanto mais próximo de zero o Ângulo entre eles, mais próxima a substancia da outra.

13 Gradiente

14 Gradiente de potencial gravitacional: faz água descer uma serra. Gradiente de potencial elétrico: campo elétrico, usado em eletroforese Gradiente de concentração de soluto: responsável por pressão Osmótica (número médio de colisões de molécula do solvente com A membrana impermeável ao soluto) Osmose reversa: Usada, e.g., em usina de dessalinização de água Gradiente de pressão: cria uma força por Unidade de massa; Gradiente de temperatura: Em um gás a volume constante, gera uma força por Unidade de massa. Ex.: Ventos quando há uma diferença de temperatura entre Diferentes regiões. Gradiente de pH (de concentração de prótons) – gradiente de potencial elétrico Normalmente gradientes representam um desequilíbrio, responsável por forças ou movimento efetivo na direção do gradiente ou na direção contrária do gradiente, dependendo do caso. solutain.awesomesites.io Eletroforese

15 Curvas de Nível: equipotenciaisEnergia Potencial U(x,y) y x A água desce na direção inversa do gradiente de altura Topologia

16 Gradiente Gradientes de Temperatura: Grad( T(x,y,z) ) ou 𝛻 T(x,y,z) = 𝛻 T Gradientes de Pressão: Grad( P(x,y,z) ) ou 𝛻 P(x,y,z) = 𝛻 P Gradientes de Energia Potencial: Grad( U(x,y,z) ) ou 𝛻 U(x,y,z) = 𝛻 U Nos exemplos acima, temperatura, pressão e potencial são grandezas escalares; Os seus gradientes, por outro lado, são vetores. Ex.: em cada ponto do espaço existe uma direção na qual o valor da temperatura muda de forma mais rápida quando nos movemos por uma quantidade infinitesimalmente pequena. Essa direção, no sentido no aumento da grandeza é representada pelo vetor gradiente

17 Gradiente Qual a taxa de variação na direção x?Qual a taxa de variação na direção y?

18 Gradiente O gradiente de uma função escalar fque é função de x e de y é dada por: Mas para indicar que f depende de várias variáveis, não somente de x, e que estamos olhando para a Taxa de variação em relação a uma variável por vez, indicamos a derivada usando um d estilizado chamado d-rondo:  ∂ às vezes é pronunciado "del" ou "parcial"

19 Gradiente: Derivada MultidimensionalEm cada ponto o gradiente é Único Analogia da montanha: em que direção cai a bola?

20 Derivada (é o gradiente em 1 dimensão)Seja a temperatura uma função apenas de x T =T(x) Qual o gradiente da temperatura? Grad(T) ou 𝜵𝑇 = dT/dx  Se o gradiente (ou derivada, neste caso) for zero a função não esta mudando com x Se o gradiente for grande, a função muda muito com x.

21 Exemplo de derivada parcialT= T(x,y,z) = 3x2y/z Qual a derivada de T em relação a x? 𝜕𝑇/𝜕x = 6xy/z Exercicio em sala: Qual a derivada de T em relação a y?

22 Gradiente de uma função escalar é um vetorU(x,y) Típico perfil de energia Possiveis gradientes de temperatura T(x,y,z)

23 Cálculo do vetor gradienteSe a função é f = f(x,y,z) o vetor gradiente desta função num ponto qualquer é: 𝜵𝑓 = ( 𝜕𝑓 𝜕x , 𝜕𝑓 𝜕y , 𝜕𝑓 𝜕z ) Pense em temperatura. A temperatura de uma sala varia de ponto para ponto. Em que direção essa temperatura varia de forma mais rápida? Isso é dado pelo gradiente.

24 Exemplos U(x,y) = 3sen(x)sen(y) Qual o gradiente desta função?

25 Exemplo: Produção de antibiótico por um certo aspergillusX: temperatura Y: pH