1 Właściwości energetyczne sygnałówDefinicja energii i mocy sygnału Energia sygnału w dziedzinie częstotliwości Moc sygnału w dziedzinie częstotliwości Zmienna losowa, proces losowy Analiza widmowa procesów losowych Podsumowanie, przykłady „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

2 Definicja energii sygnałui(t) = x(t) u(t) = x(t) E R = 1  Sygnał nazywamy energetycznym, jeżeli E < . „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

3 Definicja mocy sygnałui(t) = x(t) u(t) = x(t) P = E/T R = 1  Sygnał nazywamy sygnałem mocy, jeżeli P < . „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

4 T Uśrednianie po czasie v(t) t0 t0 + TUśrednianie po czasie zastępuje wielkość fluktuującą wielkością stałą równoważną w sensie całki oznaczonej. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

5 Moc sygnału okresowegoMoc sygnału okresowego jest równa jego mocy za jeden okres. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

6 Moc sygnału okresowego - sygnał harmoniczny„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

7 Energia sygnału w dziedzinie częstotliwościTwierdzenie Parsevala Widmowa gęstość energii (widmo gęstości energii): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

8 Funkcja korelacji dla sygnału energetycznego„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

9 Funkcja korelacji dla sygnału energetycznegoWidmowa gęstość energii dla sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą: Funkcja korelacji jest parzysta: Funkcja korelacji jest ograniczona z maksimum R(0): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

10 Funkcja korelacji jako miara podobieństwa sygnałów„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

11 Funkcja korelacji jako miara podobieństwa sygnałówNierówność Schwarza „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

12 Funkcja korelacji jako miara podobieństwa sygnałówZ nierówności Schwarza: wynika: Współczynnik  jest określany jako współczynnik korelacji czyli podobieństwa sygnałów x(t) oraz (t). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

13 Funkcja korelacji jako miara podobieństwa sygnałówAnaliza korelacji (podobieństwa) może uwzględniać przesunięcie sygnałów względem siebie. Funkcja interkorelacji sygnałów x(t) oraz (t): Funkcja autokorelacji sygnału x(t): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

14 Funkcja korelacji i widmowa gęstość energii - filtracjaWidmowa gęstość energii jest modyfikowana przez kwadrat ch-aki a-cz. Cha-ka f-cz nie zmienia widmowej gęstości energii. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

15 Moc sygnału w dziedzinie częstotliwościTwierdzenie Parsevala widmo gęstości mocy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

16 Moc sygnału w dziedzinie częstotliwościWidmowa gęstość mocy (widmo gęstości mocy): Funkcja autokorelacji sygnału mocy: posiada identyczne właściwości jak funkcja autokorelacji sygnału energetycznego, w szczególności: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

17 R Zmienna losowa   x()Zmienna losowa x jest w istocie rzeczy funkcją (losową) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby (rzeczywiste). W zastosowaniach telekomunikacyjnych mamy do czynienia ze zmiennymi losowymi w takich sytuacjach jak: napięcie w układzie elektronicznym (z uwzględnieniem szumów), liczba rozmów telefonicznych w ustalonym przedziale czasu czy liczba przekłamanych bitów w słowie kodowym. Zmiena losowa jest wygodnym modelem, gdy nie jesteśmy w stanie uchwycić w modelu wszystkich mechanizmów. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

18 R  A Dystrybuanta zmiennej losowej i Pr{x()  x} x„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

19 Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowejDystrybuanta zmiennej losowej Kształt funkcji gęstości prawdopodobieństwa wskazuje na „preferowany” zakres wartości zmiennej losowej x. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

20 Momenty zmiennej losowejWartość średnia zmiennej losowej Wartość średniokwadratowa zmiennej losowej Wariancja zmiennej losowej Odchylenie standardowe zmiennej losowej „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

21 Momenty zmiennej losowejx Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej. x Im mniejsza jest wartość współczynnika rozproszenia zmiennej losowej cx, tym bardziej zmienna losowa „przypomina” stałą deterministyczną (cx = 0). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

22 Zmienna losowa normalna+ +2 - +3 -2 -3 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

23 Procesy losowe   x(t,) x(t,) x(t,) x(t,)x(t=const,=var) – zmienna losowa x(t=var,=const) – realizacja procesu losowego x(t=var,=var) – zbiór realizacji procesu losowego x(t=const,=const) – liczba Realizacja procesu losowego x(t,) jest zwykłym, deterministycznym przebiegiem czasowym; losowość procesu nie jest nieodłączną właściwością tej funkcji, a przejawia się wyłącznie w losowym jej wyborze. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

24 Gęstości prawdopodobieństwa procesu losowegoGęstość prawdopodobieństwa I rzędu Gęstość prawdopodobieństwa II rzędu „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

25 Wartości średnie procesu losowegoWartość średnia procesu losowego Wartość średniokwadratowa procesu losowego Funkcja autokorelacji procesu losowego Funkcja autokowariancji procesu losowego „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

26 Wartości średnie procesu losowegoWartości średnie procesu są średnimi „po zbiorze” (ensamble averages), gdyż są wyliczane dla ustalonych chwil czasu ze zbioru wszystkich realizacji procesu losowego na podstawie rozkładu wartości procesu reprezentowanych przez gęstości prawdopodobieństwa. Wartości średnie „po czasie” (time averages) są wyliczane z pojedynczych realizacji procesu losowego. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

27 Wartości średnie „po czasie” procesu losowegoWartość średnia „po czasie” procesu losowego Autokorelacja „po czasie” procesu losowego Symbol ~ podkreśla, że operacja uśredniania po czasie została wykonana dla pojedynczej realizacji procesu losowego. Wartość średnia po czasie jest zmienną losową, a autokorelacja po czasie jest procesem losowym. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

28 Wartości średnie „po czasie” procesu losowegoWartość średnia „po czasie” procesu losowego Autokorelacja „po czasie” procesu losowego Istnienie granic wartości średniej po czasie oraz autokorelacji po czasie gwarantują twierdzenia ergodyczne. Konsekwencja: realizacje procesu losowego są sygnałami mocy. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

29 Stacjonarny proces losowyProces losowy jest stacjonarny (w szerszym sensie), jeżeli jego wartość średnia nie zależy od czasu: a funkcja korelacji zależy wyłącznie od długości horyzontu obserwacji , a nie od jego położenia na osi czasu czasu (t, t + ): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

30 Ergodyczny proces losowyLosowy proces stacjonarny jest ergodyczny, jeżeli jego wartości średnie po zbiorze są równe wartościom średnim po czasie. Ergodyczność wartości średniej Ergodyczność funkcji korelacji „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

31 Analiza widmowa procesów losowychRealizacje procesu losowego są sygnałami mocy, więc każdej realizacji można przyporządkować funkcję korelacji własnej, a przez przekształcenie Fouriera widmo gęstości mocy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

32 Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowegoUśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego otrzymujemy w wyniku uśredniania (w zbiorze realizacji) widm gęstości mocy poszczególnych realizacji. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

33 Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowegoUśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jest trans- formatą Fouriera funkcji korelacji uśrednionej po czasie. Twierdzenie Wienera – Chinczyna Widmo gęstości mocy stacjonarnego procesu losowego jest transformatą Fouriera funkcji korelacji. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

34 Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego – metoda alternatywnaWidmo gęstości mocy deterministycznego sygnału mocy: Widmo gęstości mocy procesu losowego: można otrzymać w wyniku uśredniania (po zbiorze) widm gęstości mocy poszczególnych realizacji, a te są deterministycznymi sygnałami mocy. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

35 Podsumowanie Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć energię/moc sygnału w dziedzinie częstotliwości. Widmowa gęstość energii/mocy określa energię/moc sygnału przypadającą na poszczególne częstotliwości sygnału. Widmowa gęstość energii/mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji. Funkcja autokorelacji opisuje podobieństwo sygnału do jego opóźnionej w czasie repliki. Funkcja autokorelacji sygnału mocy jest określona podobnie do funkcji autokorelacji sygnału energii; definicja uwzględnia dodatkowo uśrednianie po czasie. Filtracja sygnału powoduje przekształcenie widmowej gęstości energii/mocy przez kwadrat cha-ki a-cz. Realizacje procesu losowego są deterministycznymi sygnałami mocy. Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji (uśrednionej – w przypadku procesów losowych niestacjonarnych). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

36 Właściwości widma gęstości energii/mocyWidmo gęstości energii/mocy jest zawsze transformatą Fouriera funkcji autokorelacji: Widmo gęstości energii/mocy pozwala określić energię/moc sygnału w wybranym pasmie częstotliwości oraz energię/moc całkowitą: Widmo gęstości energii/mocy jest funkcją parzystą dla sygnałów rzeczywistych: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

37 Podsumowanie – właściwości funkcji autokorelacjiNiezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy) funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmienny sposób posiadają identyczne właściwości. Deterministyczny sygnał energii: Deterministyczny sygnał mocy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

38 Podsumowanie – właściwości funkcji autokorelacjiNiezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy) funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmienny sposób posiadają identyczne właściwości. Niestacjonarny proces losowy: Stacjonarny proces losowy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

39 Przykład – modulacja amplitudy„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

40 Przykład – kod transmisyjny bipolarny NRZ+1 -1 t x(t) nT (n+1)T an Symbole an są niezależne. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

41 Kod transmisyjny bipolarny NRZ - funkcja korelacji+1 (p – q)2 -T T- 2T- 3T-  „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

42 Kod transmisyjny bipolarny NRZ - funkcja korelacji+1 (p – q)2 -T T- 2T- 3T- „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

43 Kod transmisyjny bipolarny NRZ - uśredniona funkcja korelacji & widmowa gęstość mocy+1 t -T T- T 2T- 2T 3T- 3T 4T „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

44 Kod transmisyjny bipolarny NRZ - widmowa gęstość mocyf [Hz] Widmo gęstości mocy sygnału cyfrowego jest skupione w pasmie 0 < f < 1/T; twierdzenie Nyquista orzeka, że pasmo dwukrotnie węższe 0 < f < 1/2T jest wystarczające. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

45 Kody transmisyjne - kod Millera„0” zachowanie polaryzacji przy przejściu „1”  „0” zmiana polaryzacji przy przejściu „0”  „0” „1” zachowanie polaryzacji przy przejściu „1”  „1” zachowanie polaryzacji przy przejściu „0”  „1” 1 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

46 Kody transmisyjne - kod Millera„1” „0” Właściwości kodu Millera: eliminacja składowych n-cz widma istotny poziom timing content koncentracja widma w wąskim pasmie sekwencje „0...” lub „1...” – rozproszenie widma sekwencja „ ” – istotny poziom składowej dc „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

47 Kody transmisyjne - kod Millerakod bipolarny NRZ kod Millera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

48 Przykład – szum gaussowski  ~THz  Szum biały ma płaskie widmo gęstości mocy w bardzo szerokim zakresie częstotliwości. Funkcja korelacji szumu białego ma charakter impulsowy; wartości szumu białego w dowolnie bliskich chwilach czasu nie są skorelowane ze sobą. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

49 Przykład – szum gaussowski W  ~THz Idealny filtr pasmowo- przepustowy Szum gaussowski po filtracji jest nadal szumem gaussowskim. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir