1 Właściwości przekształcenia FourieraLiniowość Sprzężenie Charakterystyki a-cz i f-cz Zmiana skali Symetria Przesunięcie w czasie Przesunięcie w częstotliwości Modulacja Splot w czasie „Pole” sygnału „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

2 Właściwości przekształcenia FourieraRóżniczkowanie w dziedzinie czasu Całkowanie w dziedzinie czasu Część rzeczywista i urojona sygnału Sygnał parzysty i nieparzysty Składowa parzysta i nieparzysta sygnału Właściwości graniczne transformaty Fouriera Twierdzenie Parsevala i Rayleigha Widmo gęstości energii; energia ułamkowa „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

3 Właściwości przekształcenia FourieraZałożenia podstawowe „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

4 Właściwości przekształcenia FourieraLINIOWOŚĆ „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

5 Właściwości przekształcenia FourieraSPRZĘŻENIE Dla sygnału rzeczywistego zachodzi związek: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

6 Właściwości przekształcenia FourieraCHARAKTERYSTYKI A-CZ i F-CZ Dla sygnału rzeczywistego zachodzi związek: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

7 Właściwości przekształcenia FourieraCHARAKTERYSTYKI A-CZ i F-CZ „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

8 Właściwości przekształcenia FourieraZMIANA SKALI „Ścieśnianie” sygnału w dziedzinie czasu powoduje rozszerzanie jego widma; „rozciąganie” sygnału skutkuje zawężaniem widma. Im krócej trwa sygnał, tym szersze jest jego widmo. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

9 Właściwości przekształcenia FourieraSYMETRIA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

10 Właściwości przekształcenia FourieraSYMETRIA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

11 Właściwości przekształcenia FourieraPRZESUNIĘCIE W CZASIE Wpływ na charakterystykę f-cz „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

12 Właściwości przekształcenia FourieraPRZESUNIĘCIE W CZĘSTOTLIWOŚCI „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

13 Właściwości przekształcenia FourieraMODULACJA X() X( - o)/2 X( + o)/2 -o +o „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

14 Właściwości przekształcenia FourieraSPLOT W CZASIE WŁAŚCIWOŚCI Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

15 Przemienność splotu „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

16 Właściwości przekształcenia FourieraSPLOT W CZASIE „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

17 Właściwości przekształcenia FourieraSPLOT w CZASIE określa stopień „pokrywania” się wykresów funkcji w zależności od ich przesunięcia. 1 2 1 -2 1 1 t - 2 t 1 S „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

18 Splot w czasie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

19 Splot w czasie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

20 Właściwości przekształcenia FourieraSPLOT W CZĘSTOTLIWOŚCI „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

21 Właściwości przekształcenia Fouriera„POLE” SYGNAŁU (składowa stała sygnału) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

22 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

23 Właściwości przekształcenia FourieraRÓŻNICZKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU Różniczkowanie w dziedzinie czasu uwypukla szybkie zmiany sygnału, a więc uwypukla również wyższe częstotliwości. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

24 Właściwości przekształcenia FourieraCAŁKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU Całkowanie w dziedzinie czasu wygładza szybkie zmiany sygnału, a więc uwypukla również niższe częstotliwości. Jeżeli sygnał nie zawiera składowej stałej, X( = 0) = 0, wtedy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

25 Właściwości przekształcenia FourieraCAŁKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU Dowód właściwości „całkowanie w dziedzinie czasu” opiera się na przedstawieniu całki w postaci splotu. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

26 Właściwości przekształcenia FourieraCZĘŚĆ RZECZYWISTA I UROJONA SYGNAŁU „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

27 Właściwości przekształcenia FourieraSYGNAŁY PARZYSTE i NIEPARZYSTE sygnał parzysty  transformata Fouriera rzeczywista sygnał nieparzysty  urojona transformata Fouriera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

28 Właściwości przekształcenia FourieraSKŁADOWA PARZYSTA i NIEPARZYSTA SYGNAŁU „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

29 Właściwości przekształcenia FourieraWŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE TRANSFORMATY FOURIERA (Riemann) W miarę wzrostu częstotliwości „wartość” transformaty Fouriera maleje do zera: Transformata Fouriera (dla impulsów o czasie trwania T) zanika, X(ω)  0, z szybkością: jeżeli tylko istnieją ciągłe pochodne „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

30 WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE TRANSFORMATY FOURIERA„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

31 WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE TRANSFORMATY FOURIERA-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 +T/2 -T/2 Impuls „podniesiony kosinus” (raised cosine) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

32 Właściwości przekształcenia FourieraTWIERDZENIE PARSEVALA i(t) = x(t) u(t) = x(t) E R = 1  „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

33 TWIERDZENIE PARSEVALA„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

34 Marc-Antoine PARSEVAL (1755 - †1836)(no picture available) Very little is known of Antoine Parseval's life. Parseval had only five publications, all presented to the Académie des Sciences. The second was Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux differences partielle linéaires du second ordre, à coefficiens constans dated 5 April 1799, contains the result known today as Parseval's theorem. Parseval's result was not published until his five papers were all published by the Académie des Sciences in Before that it was known by members of the Academy and appeared in works by Lacroix and Poisson before Parseval's papers were printed. Parseval was never honoured with election to the Académie des Sciences. He remains a somewhat shadowy figure and it is hoped that research will one day provide a better understanding of his life and achievements. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

35 Właściwości przekształcenia FourieraTWIERDZENIE RAYLEIGHA Twierdzenie Rayleigha stanowi uogólnienie twierdzenia Parsevala dla dwóch różnych sygnałów. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

36 Właściwości przekształcenia FourieraWIDMOWA GĘSTOŚĆ ENERGII ENERGIA UŁAMKOWA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

37 Właściwości przekształcenia FourieraENERGIA UŁAMKOWA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

38 Podsumowanie W większości przypadków transformaty Fouriera wyznaczamy korzystając z udowodnionych właściwości przekształcenia Fouriera oraz wyliczonych wcześniej par transformat. Nie korzystamy z definicji przekształcenia Fouriera. Twierdzenie o splocie oraz twierdzenie Parsevala są właściwościami przekształcenia Fouriera o najbardziej doniosłym znaczeniu. Splot jest wykorzystywany do opisu filtracji sygnałów. Twierdzenie Parsevala jest punktem wyjściowym dla analizy spektralnej procesów losowych.