1 Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej opracowała: monika kulczak, klWartość bezwzględna liczby rzeczywistej opracowała: monika kulczak, kl. I e gimnazjum nr 4 w krośnie

2 Definicja Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x (inaczej moduł liczby rzeczywistej x) jest oznaczana przez |x| i zdefiniowana w sposób następujący: wartość bezwzględna z liczby nieujemnej jest równa danej liczbie, wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest równa liczbie do niej przeciwnej. Definicja algebraiczna wyraża się następującym wzorem: x, dla x ≥0 -x, dla x<0 Przykłady: |7|=7, |-3|=3, |0|=0. W sensie geometrycznym wartość bezwzględna jest miarą odległości. I tak |a| oznacza odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej a od punktu 0. Natomiast |a - b| oznacza odległość na osi liczbowej punktów o współrzędnych a i b.

3 Własności Wartość bezwzględna posiada wiele przydatnych własności. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y: |x| ≥ 0 |x| = |-x | |x + y| ≤ |x| + |y| | x - y | ≥ |x| - |y| ||x| - |y|| ≤ | x + y | ||x| - |y|| ≤ | x - y | |x| = 8. |x| = |y| x = y lub x = -y. Ponadto dla a > 0 prawdziwe są związki; |x| ≤ a a ≤ x ≤ a |x| < a a < x < a |x| ≥ a x ≤ -a lub x ≥ a |x| > a x < -a lub x > a .

4 Przykładowe zadania Zadanie 1. Oblicz x, wiedząc, że: |x| = 0,8. Rozwiązanie : |x| = 0,8 x = 0,8 lub x = - 0,8. Zadanie 2. Wiemy, że |a|= |b|. Czy liczby a i b muszą być równe? Rozwiązanie: Z własności wartości bezwzględnej wiemy, że : |a| = |-a| i |b| = |-b|. Stąd jeśli |a| = |b| , to a = b lub a = -b.

5 Zadanie 3. Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że x (-5 ; 5) ? Rozwiązanie: x (-5 ; 5) , czyli -5 < x < 5. Tak więc |x| < 5. Zadanie 4. Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że : x (-∞ ; -7 7 ; +∞) ? x (-∞ ; -7 7 ; +∞), czyli x ≤ -7 lub x ≥ 7. Tak więc możemy zapisać, że: |x| ≥ 7.

6 Zadanie 5. Rozwiąż równanie: |x| - 2x = 4 Rozwiązanie: Rozpatrujemy dwa przypadki: I. Gdy x ≥ 0, to |x| = x. Tak więc nasze równanie ma postać: x – 2x = 4 x = -4 Ponieważ założyliśmy, że x ≥ 0, więc w tym przypadku równanie nie ma rozwiązania. II. Gdy x < 0, to |x| = -x. Tak więc równanie ma postać: -x – 2x = 4 -3x = 4 x = -1 Tu nie ma sprzeczności z założeniem. Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania jest tylko liczba -1 .

7 Zadanie 6. Jakie liczby spełniają nierówność: |x - 2| ≤ 3, gdy x jest liczbą: a) całkowitą, b) rzeczywistą. Rozwiązanie: Musimy rozważyć dwa przypadki: I. Gdy x – 2 ≥ 0, czyli x ≥ 2, to |x - 2| = x - 2. Równanie nasze ma więc postać: x – 2 ≤ 3 x ≤ 5 Otrzymujemy, że: 2 ≤ x ≤ 5. II. Gdy x – 2 < 0, czyli x < 2, to |x - 2| = - x + 2. Równanie nasze ma postać: -x + 2 ≤ 3 x ≥ -1 Otrzymujemy, że: -1 ≤ x < 2. Ostatecznie rozwiązanie naszej nierówności to: -1 ≤ x ≤ 5. W odniesieniu do punktów a i b zadania mamy: a) gdy x jest l. całkowitą, to rozwiązaniem są liczby -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. b) gdy x jest l. rzeczywistą, to x -1 ; 5 .

8 Zadanie 7. Rozwiąż nierówność: |x| + |2 - x| < 4 Rozwiązanie: Rozpatrujemy cztery przypadki: I. |x| = x , dla x ≥ 0 i |2 - x| = 2 – x , dla 2 – x ≥ 0 x ≤ 2 Czyli dla 0 ≤ x ≤ 2 nasza nierówność ma postać: x + 2 – x < 4 2 < 4 Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego 0 ≤ x ≤ 2. II. |x| = x , dla x ≥ 0 i |2 - x| = -2 + x , dla 2 – x < 0 x > 2 Czyli dla x > 2 nierówność ma postać: x – 2 + x < 4 2x < 6 x < 3 Tak więc nasza nierówność jest spełniona dla 2 < x < 3.

9 III. |x| = -x , dla x < 0 i |2 - x| = 2 – x , dla 2 – x ≥ 0 x ≤ 2 Czyli dla x < 0 nasza nierówność ma postać: -x + 2 – x < 4 -2x < 2 x > -1 Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego -1 < x < 0. IV. |x| = -x , dla x < 0 i |2 - x| = -2 + x , dla 2 – x < 0 x > 2 Otrzymujemy sprzeczność, gdyż nie możliwe jest, aby jednocześnie zachodziły warunki: x < 0 i x > 2. W tym przypadku nierówność nie zachodzi dla żadnego x. W ten sposób otrzymujemy, że nierówność jest spełniona, gdy zachodzi pierwszy lub drugi, lub trzeci przypadek, a więc x (-1 ; 3).

10 Zadanie 8. Dla każdej trójki liczb rzeczywistych a, b, c (różnych od zera) tworzymy liczbę: Oblicz, ile może wynosić taka suma. Rozwiązanie: Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x mamy: 1, dla x>0 -1, dla x<0 Tak więc suma jest sumą liczb 1 lub -1 w różnych kombinacjach. Łatwo sprawdzamy, że suma ta może być tylko równa 4 lub 0 lub -4.

11 Zadania do samodzielnego rozwiązaniaZadanie 1. Podaj zbiór rozwiązań następujących równań i nierówności: a) |x| = 3 b) |x| = -5 c) |x| < 2 d) |x| ≥ 3 e) |x - 1| < 1 Odpowiedzi Zadanie 2. Zapisz podane nierówności w skrócony sposób (używając symbolu wartości bezwzględnej): a) -2 ≤ a ≤ 2 b) 1 < x < 3 Odpowiedzi

12 Zadanie1. a) x = 3 lub x = -3 b) brak rozwiązań c) -2 < x < 2 d) x ≤ -3 lub x ≥ 3 e) 0 < x < 2 POWRÓT

13 Zadanie 2. a) │a│≤ 2 b) │x - 2│< 1 POWRÓT

14 Zadanie 3. Które z poniższych zdań jest prawdziwe dla dowolnych liczb a, b: a) jeżeli a = b, to │a│=│b│ b) jeżeli │a│=│b│, to a = b c) a ≥ │a│ d) a ≤ │a│ Odpowiedzi Zadanie 4. Wyrażenie m + │m│ zapisz w najprostszej postaci, nie używając symbolu wartości bezwzględnej, gdy: a) m ≥ 0 b) m < 0 Odpowiedzi Zadanie 5. Wyrażenie │x│+ │x + 1│ + │x - 2│ zapisz w najprostrzej postaci, wiedząc, że 1 < x < 2. Odpowiedź

15 Zadanie 3. Prawdziwe są zdania a i d. POWRÓT

16 Zadanie 4. a) 2m b) 0 POWRÓT

17 Zadanie 5. x + 3 POWRÓT

18 Zadanie 6. Rozwiąż następujące równania: a) │x│- x = 2 b) │x│= 0,5x – 1 Odpowiedzi Zadanie 7. Rozwiąż następujące równania. Pamiętaj o rozważeniu wszystkich przypadków. a) │2x + 2│= │x│+ 3 b) │x│- 2 = │x + 2│ Odpowiedzi Zadanie 8. Rozwiąż podane nierówności: a) │2x - 3│< 2 b) │0,5x + 1│> 1,5 c) │x - 1│+ x < 1 d) │x│- │x - 1│> 0 Odpowiedzi

19 Zadanie 6. a) x = -1 b) brak rozwiązań POWRÓT

20 Zadanie 7. a) x = -5 lub x = 1 b) Równanie jest spełnione dla wszystkich x ≤ -2. POWRÓT

21 Zadanie 8. a) 0,5 < x < 2,5 b) x < -5 lub x > 1 c) brak rozwiązań d) x > 0,5 POWRÓT

22 Bibliografia Encyklopedia Matematyka pod red. A. Nawrot Sabiak, Greg, Kraków 2008 P. Kosowicz, Słownik Matematyka, Greg, Kraków 2006 A. Ehrenfeucht, O. Stande, Algebra, WSiP, Warszawa 1986 Z. Krawcewicz, Zadania dla uczniów klas V – VIII uzdolnionych matematycznie, WSiP, Warszawa 1976 Matematyka z wesołym kangurem (Kadet i Junior), Aksjomat, Toruń 1995