1 Ćwiczenia 8. Kwadraty magiczne

2 Znany kwadrat magicznyAlbrecht Durer, Melancholia I, 1514

3 Kwadrat magiczny Kwadratowa tablica liczb, taka żeSuma liczb w każdym wierszu jest taka sama Suma liczb w każdej kolumnie jest taka sama Suma liczb leżących na każdej przekątnej jest taka sama Suma liczb w kolumnie jest równa sumie liczb w wierszu i sumie liczb z przekątnej

4 Kwadrat magiczny - przykład4 9 2 3 5 7 8 1 6

5 Algebra kwadratów magicznychNa kwadratach magicznych tego samego rozmiaru można wykonywać operacje, które nie zmieniają własności „magiczności” kwadratu

6 Operacje - przestawieniaPrzestawienie wierszy lub kolumn położonych symetrycznie względem środka nie zmienia „magiczności” kwadratu. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 1 6 3 5 7 4 9 2

7 = + Operacje - dodawanie 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 1 6 3 5 7 4 9 2 12 10 8 6Dodawanie (komórka po komórce) dwóch kwadratów magicznych daje kwadrat magiczny. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 1 6 3 5 7 4 9 2 12 10 8 6 14 = +

8 Operacje – mnożenie Pomnożenie każdej liczby kwadratu magicznego przez stałą daje w wyniku kwadrat magiczny. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 12 27 6 9 15 21 24 3 18 x 3

9 Operacje – zastąpienieZwykle kwadrat magiczny wypełnia się kolejnymi liczbami (ogólniej: kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego). Zastąpienie ciągu arytmetycznego wypełniającego kwadrat magiczny innym ciągiem arytmetycznym daje w wyniku kwadrat magiczny.

10 Operacje – zastąpienie4 9 2 3 5 7 8 1 6 33 19 39 36 30 24 21 42 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 42 39 36 33 30 27 24 21 19

11 Algorytmy tworzenia Algorytmy tworzenia kwadratów magicznych zależą od parzystości wymiaru kwadratu. Dla kwadratów nieparzystych algorytmy: Hinduski, Synajski, Bacheta. Dla kwadratów parzystych algorytm symetrii obrotowej

12 Algorytm hinduski 3 4 5 1 6 2 7 start środek

13 Algorytm hinduski 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 16

14 Algorytm syjamski 2 9 1 8 5 7 4 6 3 Start: środek górnego wiersza

15 Algorytm syjamski 18 25 2 9 16 17 24 1 8 15 23 5 7 14 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11

16 Algorytm Bacheta 1 6 2 7 3 8 4 5

17 Algorytm Bacheta 1 6 2 11 24 7 20 3 16 4 12 25 8 21 17 5 13 9 22 10 18 14 23 19 15

18 Algorytm La Louber’a 5 4 3 2 1

19 Algorytm La Louber’a 5 4 3 2 1

20 Algorytm La Louber’a 5 4 3 10 2 9 1 8 7 6

21 Algorytm La Louber’a 5 4 3 10 2 9 1 8 7 6

22 Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 3 10 12 2 9 11 1 8 7 6

23 Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 3 10 12 2 9 11 1 8 7 6

24 Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 3 10 12 19 2 9 11 18 1 8 17 7 16 6

25 Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 19 3 10 12 2 9 11 18 1 8 17 7 16 6

26 Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 19 3 10 12 2 9 11 18 25 1 8 17 24 7 16 23 22 6 21

27 Algorytm La Louber’a 15 5 14 4 13 20 19 21 3 10 12 25 2 9 11 18 1 8 17 24 7 16 23 22 6

28 Algorytm La Louber’a 19 21 3 10 12 25 2 9 11 18 1 8 15 17 24 7 14 16 23 5 13 20 22 4 6

29 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne

30 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne

31 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne

32 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne

33 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne

34 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne1 2 7 8 9 10 15 16 19 20 21 22 27 28

35 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne1 2 7 8 9 10 15 16 19 20 21 22 27 28 12 11 6 5 4 3

36 Dwu-Parzyste kwadraty magiczne1 2 62 61 60 59 7 8 9 10 54 53 52 51 15 16 48 47 19 20 21 22 42 41 40 39 27 28 29 30 34 33 32 31 35 36 37 38 26 25 24 23 43 44 45 46 18 17 49 50 14 13 12 11 55 56 57 58 6 5 4 3 63 64