1 WYKŁAD 11 FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU W ATOMIE WODORU Z UWZGLĘDNIENIEM SPINU; SKŁADANIE MOMENTÓW PĘDU

2 Funkcje falowe elektronu w atomie wodoru z uwzględnieniem spinuJak uwzględnić spin? Amplituda prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie przestrzennym |ℓ,m>, w punkcie , bez informacji o kierunku spinu Spin to moment pędu o stałej wartości: i rzucie na oś z:

3 możemy przedstawić jako:Pole wektorowe: możemy przedstawić jako:

4 gdzie a, b i c określają orientację wektora w przestrzenilub, w szczególnym przypadku, gdy orientacja wektora jest taka sama w każdym punkcie przestrzeni: gdzie a, b i c określają orientację wektora w przestrzeni przy czym:

5 Przez analogię możemy opisać stan elektronu wprowadzając następujący zapis:gdzie współczynniki a i b to amplitudy prawdopodobieństwa, że elektron ma spin „do góry” i do „dołu”. Dla ms = +1/2 Dla ms = -1/2

6 lub, przyjmując, że: i możemy zapisać: otrzymując pełną funkcję falową przedstawiającą amplitudę prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie |ℓ,m> i w punkcie r,θ, φ, ze spinem +1/2 lub – 1/2

7 J = 1, m = 0, ±1 transformuje się jak wektorSPINORY, to obiekty podobne do wektorów, transformujące się w odpowiedni sposób po obrocie układu współrzędnych: J = 1, m = 0, ±1 transformuje się jak wektor Dla j = 1/2, m = ±1/2: Obrót o kąt φ wokół osi z: Obrót o kąt θ wokół osi y:

8 Składanie momentów pędu:współczynniki rozwinięcia: współczynniki Clebscha – Gordana jeden z kalkulatorów dostępnych na internecie:

9 orbitalny moment pędu, s, p, d, f własny moment pędu elektronuDla atomu wodoru: orbitalny moment pędu, s, p, d, f własny moment pędu elektronu wszystkie potrzebne współczynniki rozwinięcia, czyli współczynniki Clebscha – Gordana, możemy otrzymać korzystając z następującej tabeli:

10 Współczynniki Clebscha - Gordana; J2 = 1/2:

11 mamy 6 składowych o różnych wartościach M Dla:Przykład: Wyraź funkcję falową odpowiadającą stanowi 4f5/2 dla M = 3/2, poprzez funkcje mamy 6 składowych o różnych wartościach M Dla: Na rzut wypadkowego momentu pędu na oś z o wartości: składają się tylko dwie pary M1 i M2: (1, 1/2) oraz (2, -1/2)

12 J = J1 – 1/2, zatem korzystamy z dolnego wiersza w tabelidla M2 = +1/2 mamy: a dla M2 = -1/2:

13