1 WYKŁAD 14 DYFRAKCJA FRESNELA
2 PLAN WYKŁADU Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala CornuDyfrakcja Fresnela na szczelinie PODSUMOWANIE
3 Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu
4 Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala CornuMetoda: korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela
5 Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala CornuMetoda: korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhofa
6 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:
7 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:
8 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:
9 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:
10 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:
11 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:
12 jest różnicą dróg (rysunek)Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań: W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie: gdzie: jest różnicą dróg (rysunek)
13 Ponieważ: dla
14 Ponieważ: dla
15 Ponieważ: dla i: oraz:
16 Ponieważ: dla i: oraz:
17 Ponieważ: dla i: oraz:
18 Natężenie w punkcie P0:
19 Natężenie w punkcie P0:
20 Natężenie w punkcie P0: gdzie: oraz:
21 Stałą a dobieramy tak, by A = B = 0.5Natężenie w punkcie P0: gdzie: oraz: Stałą a dobieramy tak, by A = B = 0.5
22 Całki te przypominają całki określające tzwCałki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą):
23 Całki te przypominają całki określające tzwCałki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą):
24 Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami FresnelaCałki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą): Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela
25 Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami FresnelaCałki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą): Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela Wyznaczają parametrycznie krzywą zwaną klotoidą, spiralą Cornu lub Eulera
26 Spirala Cornu
27 Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie:
28 Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie:czyli: oraz:
29 Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie:czyli: oraz:
30 Z półpłaszczyzną: A = ½, B = ½, A2 + B2 = ½, bez półpłaszczyzny: (2A)2 + (2B)2 = 2 zatem natężenie w P0 z półpłaszczyzną jest równe ¼ I0
31
32
33
34 Długość elementu krzywej Cornu wynosi dv, a całkowita długość wzdłuż krzywej, od punktu (0,0) do punktu (x,y) dla parametru v, wynosi właśnie v.
35 Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi:
36 Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi:
37 co można porównać z wyrażeniem:Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem:
38 co można porównać z wyrażeniem:Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem:
39 co można porównać z wyrażeniem: otrzymanym z zasady Huyghensa.Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem: otrzymanym z zasady Huyghensa.
40 Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0?
41 Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0?
42 dla punktu P powyżej; oscylatory nieuwzględnioneJak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0? dla punktu P powyżej; oscylatory nieuwzględnione
43 Punkt P powyżej punktu P0:
44 Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje
45 Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; oscylacje
46 Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; oscylacje
47 Punkt P powyżej punktu P0:1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje
48 Punkt P powyżej punktu P0:1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje
49 Punkt P powyżej punktu P0:1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje v ujemne! natężenie większe niż w P0
50 Punkt P poniżej punktu P0:
51 Punkt P poniżej punktu P0:
52 Punkt P poniżej punktu P0:dla punktu P poniżej; oscylatory uwzględnione niepotrzebnie
53 Punkt P poniżej punktu P0:
54 Punkt P poniżej punktu P0:trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje
55 Punkt P poniżej punktu P0:1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje
56 Punkt P poniżej punktu P0:1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje
57 Punkt P poniżej punktu P0:1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje
58 Punkt P poniżej punktu P0:1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje
59 Punkt P poniżej punktu P0:1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje v dodatnie! natężenie mniejsze niż w P0
60 Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnieModel promieni i model falowy (dyfrakcja Fresnela)
61 Dyfrakcja Fresnela na szczeliniePunkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):
62 Dyfrakcja Fresnela na szczeliniePunkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):
63 Dyfrakcja Fresnela na szczeliniePunkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):
64 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu
65 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali CornuObliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2).
66 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali CornuObliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2). Obliczyć A i B:
67 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali CornuObliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2). Obliczyć A i B:
68
69 Rozkład natężeń (szczelina o szerokości Δv) wyliczony z tablic całek Fresnela otrzymanych przy pomocy programu Theorist, krok 0.01, dokładność ok. 6 cyfr znaczących. Wartości parametru Δv podano na rysunku. Położenie punktu P na ekranie podano w jednostkach v
70 PODSUMOWANIE Z dyfrakcją Fresnela mamy do czynienia wtedy, gdy odległość ekranu obserwacyjnego od ekranu z otworami, czy szczelinami nie jest duża i nie spełnia warunku Fraunhofera Całkowanie wkładu od oscylatorów Huyghensa prowadzi, dla dyfrakcji Fresnela, do wyrażeń, w których występują całki Fresnela, które definiują tzw. spiralę Cornu
71 PODSUMOWANIE Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie z prostoliniową krawędzią; obszar cienia geometrycznego; malejące monotonicznie natężenie Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie z prostoliniową krawędzią; obszar powyżej cienia geometrycznego; oscylacje natężenia
72 v, położenie punktu P, Δv szerokość szczeliny.PODSUMOWANIE Dla pojedynczej szczeliny natężenie światła w punkcie P na ekranie obserwacyjnym można wyrazić przez następującą sumę kwadratów różnic (lub sum) całek Fresnela: v, położenie punktu P, Δv szerokość szczeliny. Rozkład Fraunhofera dla małych szerokości.