1 Wykład (15h), Laboratorium (15h)MODELOWANIE SYMULACYJNE W LOGISTYCE Simulation Modelling in Logistics (ang.) Edycja S1I 2016/2017 Wykład (15h), Laboratorium (15h)

2 Roman Pietroń, dr inż. PWr. , IZ/K-4, bud. B1 p. 413c e-mail: romanRoman Pietroń, dr inż. PWr., IZ/K-4, bud. B1 p. 413c Konsultacje: Poniedziałek TN (Wrocław PWr., B1, 413c) Wtorek TP (Wrocław PWr., B1 413c) Środa TN (Wrocław PWr., B1, 413c) Środa TP (Wrocław PWr., B1, 413c)

3 Bibliografia podstawowaGajda J.B., Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, C.H.Beck Warszawa, 2001. Mielczarek B., Modelowanie symulacyjne w zarządzaniu. Symulacja dyskretna, Oficyna PWr., Wrocław, 2009. Maciąg A., Pietroń R., Kukla S., Prognozowanie i symulacja w przedsiębiorstwie, Wyd. PWE Warszawa 2013. Pietroń R., Modelowanie i projektowanie procesów i systemów logistycznych, Wyd. WSOWL Wrocław, 2015. Pietroń R., Modelowanie symulacyjne w logistyce. E-materiał PWr., Pietroń R., Modelowanie symulacyjne. Wybrane zagadnienia, E- Materiał PWr., Pietroń R., Zbiór zadań z modelowania symulacyjnego, E-Materiał PWr., Zeigler B.P., Teoria modelowania i symulacji, PWN Warszawa, 1984.

4 Bibliografia uzupełniającaFishman G.S., Symulacja komputerowa. Pojęcia i metody, PWE Warszawa 1981. Gordon G., Symulacja systemów, WNT Warszawa, 1974. Kondratowicz L., Modelowanie symulacyjne systemów, WNT Warszawa, 1978. Kowal R., Stanek S., Zadora Żytniewski P., Symulacja komputerowa z wykorzystaniem modeli Dynamiki Systemowej, ss [w:] Modele hybrydowe w podejmowaniu finansowych decyzji gospodarczych, praca zb. Pod red. S.Stanka, AE Katowice, 2007. Krupa K., Modelowanie symulacja i prognozowanie. Systemy ciągłe, WNT Warszawa, 2008. Naylor T.H., Modelowanie cyfrowe systemów ekonomicznych, PWN Warszawa, 1975. Nowak M., Symulacja komputerowa w problemach decyzyjnych, AE Katowice, 2007. Tarajkowski J. (red.), Elementy dynamiki systemów, AE Poznań, 2008. Tyszer J., Symulacja cyfrowa, WNT Warszawa, 1990.

5 Bibliografia uzupełniająca – cd.Systemy modelowania i symulacji – oprogramowanie, tutorial: Produkt Demo: Vensim PLE - Ventana Systems, Inc.: Produkt Demo: IThink - High Performance Systems: Produkt Demo: GPSS World - Minuteman Software: Produkt Edu: ARENA – Rockwell Software Inc. (Systems Modeling Corp.): Produkt Demo: ExtendSim - Imagine That!: Produkt Demo: iGrafx Process for Six Sigma MGX-Corel Corp.:

6 Bibliografia – poziom zaawansowanyCzasopisma: Logistyka System Dynamics Review Simulation Simulation & Gaming Simulation Modelling. Practice and Theory

7 CEL PRZEDMIOTU Celem kursu jest dostarczenie podstawowych wiadomości o symulacji jako metodzie badania i analizy systemów dynamicznych, przygotowanie do korzystania z języków i systemów narzędziowych modelowania i symulacji komputerowej w modelowaniu logistycznym oraz do współpracy z symulogami.

8 TEMATY ZAJĘĆ WYKŁADOWYCHWprowadzenie do modelowania symulacyjnego. Przykłady modeli i badań. Zagadnienia ogólne. Etymologia, źródła historyczno-filozoficzne. Zagadnienia metodologiczne. Definicje, struktury, budowa modeli, weryfikacja, eksperyment symulacyjny, wnioskowanie. Metody i techniki modelowania symulacyjnego: symulacja ciągła (metoda J.W.Forrestera), symulacja dyskretna (metody planowania zdarzeń, przeglądu i wyboru działań, interakcji procesów), symulacja za pomocą gier, symulacja rozproszona, technologia agentowa w symulacji. Zastosowania badań symulacyjnych w logistyce i w zarządzaniu logistycznym. Problemy przekazywania wyników symulacji. Dokumentowanie projektów symulacyjnych i standaryzacja. Profesjonalizm i etyka w symulacji. Podsumowanie i zaliczenie wykładu

9 FORMA ZALICZENIA LABORATORIUMObecność (15%), Pytania kontrolne (15%), Aktywność (30%), Sprawozdania (40%) Termin zaliczenia: Ostatnie zajęcia w semestrze

10 OCENY Celujący 5.5 (≥ 95%), Bardzo dobry 5.0 (≥ 85%),Ponad dobry (≥ 75%), Dobry (≥ 65%), Ponad dostateczny 3.5 (≥ 55%), Dostateczny (≥ 45%), Niedostateczny 2.0 (< 45%).

11 TEMATY ZAJĘĆ LABORATORYJNYCHWprowadzenie. Pojęcie systemu i modelu systemu. Konceptualizacja modelu systemu dynamicznego. Myślenie systemowe. (1 godzina). "Dynamika systemów" - metoda J.W.Forrestera symulacji ciągłej w SCM. Zastosowanie systemów zintegrowanych modelowania i symulacji Vensim/IThink. Przykłady modelowania i symulacji. (3 godziny). Projekt i budowa modelu symulacyjnego systemu dynamicznego SCM o charakterystyce ciągłej. Eksperyment i wnioskowanie z badań. (1 godzina). Interakcja procesów - metoda symulacji dyskretnej w logistyce. Zastosowanie języka GPSS World, systemów Arena, ExtendSim. (4 godziny). Projekt i budowa modelu symulacyjnego systemu dynamicznego w logistyce o charakterystyce dyskretnej. Eksperyment i wnioskowanie z badań. (1 godzina). Metoda Monte Carlo – próbkowanie i symulacja. Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego Excel. (2 godziny). Modelowanie procesów biznesowych w logistyce – notacja BPMN w logistyce. Zastosowanie systemu modelowania procesów iGrafx Process for Six Sigma (2 godziny). Podsumowanie i zaliczenie zajęć. (1 godzina).

12 Laboratorium WprowadzeniePodstawy metodologiczne symulacji Pojęcie systemu i konceptualizacja modelu systemu Symulacja ciągła Metoda Dynamiki Systemów Symulacja dyskretna Metoda interakcji procesów

13 Co to jest system?

14 Definiowanie systemu Idea wyodrębnienia systemu z otoczenia (system jako pewna wyodrębniona całość) Idea budowy systemu z elementów, podsystemów (system jako złożenie wzajemnie oddziałujących elementów) Idea funkcji spełnianej przez system (system jest całością o określonej funkcji) Idea zmienności (ograniczonej) systemu w czasie (system jako całość zmienna w czasie ale zachowująca istotę – właściwości podstawowe)

15 Jakie czynniki są istotne w konceptualizacji modelu systemu?

16 Czynniki modelowania Cel budowy modelu Cel funkcjonowania systemuOtoczenie systemu Obiekty systemu (agenci systemu) Atrybuty obiektów systemu Pomiar atrybutów obiektów systemu Relacje pomiędzy atrybutami i obiektami Metody, techniki, narzędzia modelowania

17 Jakie zastosować metody modelowania?

18 OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA METOD SYMULACYJNYCHMetoda symulacyjna Sposób budowy modelu systemu dynamicznego (modelowania) i znajdywania rozwiązań tego modelu (wartości zmiennych stanu). Metody symulacji ciągłej Cecha charakterystyczna: wykorzystanie funkcji ciągłych w opisie formalnym charakterystyk zmiennych stanu systemu (zmiana stanu systemu jako funkcja ciągła); wykorzystanie funkcji ciągłych lub quasi-ciągłych w opisie zjawiska upływu czasu. Przykłady: metoda układu równań różniczkowych, metoda Dynamiki Systemów (SD). Metody symulacji dyskretnej Cecha charakterystyczna: wykorzystanie funkcji dyskretnych w opisie formalnym charakterystyk zmiennych stanu systemu (zmiana stanu systemu jako funkcja dyskretna); wykorzystanie funkcji dyskretnych w opisie zjawiska upływu czasu. Przykłady: metoda planowania zdarzeń, metoda przeglądu i wyboru działań, metoda interakcji procesów. Metody symulacji mieszanej (hybrydowe) Cecha charakterystyczna: wykorzystanie funkcji dyskretnych i ciągłych w opisie formalnym charakterystyk zmiennych stanu systemu (zmiana stanu systemu jako funkcja dyskretna i ciągła); wykorzystanie funkcji dyskretnych, ciągłych i quasi-ciągłych w opisie zjawiska upływu czasu. Przykłady: połączenie metod symulacyjnych, połączenie symulacji i AI, gry symulacyjne, połączenie symulacji na modelach formalnych i fizycznych.

19 Symulacja ciągła a dyskretnaSymulacja ciągła („podejście makroskopowe”) zmiany stanu systemu opisane są funkcjami ciągłymi, zazwyczaj systemy o funkcjonowaniu ciągłym. Symulacja dyskretna („podejście mikroskopowe”) zmiany stanu systemu opisane są funkcjami dyskretnymi, zazwyczaj systemy o funkcjonowaniu dyskretnym.

20 Symulacja ciągła a dyskretnaAspekty modelowania Symulacja ciągła Symulacja dyskretna Zdarzenie w systemie – zmiana stanu systemu Matematyczna funkcja ciągła. Matematyczna funkcja dyskretna. Upływ czasu – charakter obserwacji stanów systemu Interwał obserwacji systemu jest zazwyczaj stały – quasi-ciągłość (dt=const); Iteracje symulacyjne są sekwencją obliczeń zależną od czasu systemu. Interwał obserwacji jest stały lub zależny od zdarzeń (metoda następstwa zdarzeń); Iteracje symulacyjne zależą od warunków logicznych lub czynności zdarzeń. Obiekt modelowania Jednostkowo nie-identyfikowalny i jednorodny (homogeniczny) przepływ (strumień) materii, energii, informacji; Reguły decyzyjne sterowania przepływem. Identyfikowalny pojedynczy obiekt dynamiczny przemieszcza-jący się w sieci czynności; Struktura obiektów statycznych do wykonania czynności z zasobami. Orientacja modelowania Dynamika systemu; Relacje przyczynowo-skutkowe; Relacja struktura-zachowanie; Analiza pętli sprzężeń zwrotnych; Identyfikacja struktur rodzajowych. Produktywność, wydajność, sprawność i efektywność systemu; Wykorzystanie zasobów systemu; Czas wykonania procesów; Identyfikacja „wąskich gardeł”. Opis systemu: charakterystyka wejściowa symulacji Reguły decyzyjne dla sterowania (zarządzania) przepływem strumieni; Charakterystyka struktury systemu (relacje przyczyna-skutek, opóźnienia przepływu, wzmocnienia, ograniczenia pojemnościowe). Charakterystyka atrybutów obiektów dynamicznych (reguły decyzyjne, reguły łączenia i rozdziału, marszruta, czasy kreacji i opóźnienia przepływu); Opis obiektów statycznych (pojemności, dostępności). Opis systemu: charakterystyka wyjściowa symulacji Własności dynamiczne (przebiegi przejściowe, stacjonarność, niestacjonarność, stabilność, niestabilność, równowaga, dominacja pętli sprzężeń zwrotnych, stan systemu). Zagregowane własności statystyczne systemu i obiektów (stan systemu, wykorzystanie zasobów, sprawność, wydajność, efektywność, dostępność). Upływ czasu Czas pomiędzy dwoma kolejnymi obserwacjami systemu jest zazwyczaj stały (dt=const); Iteracje symulacyjne są sekwencją obliczeń zależną od czasu systemu. Czas pomiędzy dwoma kolejnymi obserwacjami jest stały (metoda krokowa) lub zależny od zdarzeń Iteracje symulacyjne są przetwarzaniem warunków logicznych lub czynności zdarzeń Regulaminy przepływu dynamicznych obiektów Regulamin FIFO. Obiekty statyczne i dynamiczne z regulaminami: FIFO, LIFO, SPT, priorytetowym, losowym. Marszruty Przepływy muszą mieć jednoznaczną definicję marszruty (rozdzielenie strumienia i przepływy do wielu miejsc w tym samym czasie). Obiekty dynamiczne kierowane do pierwszego z możliwych miejsc (obiekty mogą być w danym czasie tylko w jednym miejscu); Klony (kopie) obiektów są odrębnymi obiektami (te same atrybuty). Statystyki Ogólne charakterystyki (rzadziej statystyki) systemu: ilość, sprawność, czas przejścia. Ogólne charakterystyki systemu; Ponadto statystyki obiektów: liczniki, wykorzystanie, czas. Dziedziny zastosowania metody symulacji – przypadki użycia Badania naukowe, praktyka gospodarcza: myślenie systemowe, inżynieria systemów, zarządzanie, ekonomia, ekologia, produkcja, logistyka, BPM, BPR, finanse. Praktyka gospodarcza, badania naukowe: usługi, wytwarzanie, produkcja, BPM, BPR, sieci, inżynieria systemów, zarządzanie, finanse.

21 Jakie są etapy (fazy) modelowania?

22 ETAPY BUDOWY I WYKORZYSTANIA MODELU SYMULACYJNEGOPodmioty: odbiorca wyników symulacji, symulog Określenie systemu, sytuacji problemowej i celu budowy modelu Budowa modelu (konceptualizacja, formalizacja) Przygotowanie danych wejściowych symulacji Programowanie modelu (operacjonalizacja modelu) Ocena zasadności i weryfikacja modelu (eksperyment wstępny) Planowanie eksperymentu symulacyjnego Realizacja eksperymentu symulacyjnego (eksperyment właściwy) Analiza i interpretacja wyników symulacji Dokumentowanie symulacji Praktyczne wykorzystanie wyników symulacji

23 Praktyka modelowania symulacyjnegoTyp 1: modelowanie symulacyjne jako projekt budowy symulatora (inżynieria oprogramowania) Typ 2: modelowanie symulacyjne jako projekt budowy i rozgrywki gry symulacyjnej (gra) Typ 3: modelowanie symulacyjne jako projekt (proces) zmian organizacyjnych (interwencja) Typ 4: modelowanie symulacyjne jako projekt grupowego budowania modeli (dyskusja) Typ 5: modelowanie symulacyjne jako podprojekt modelowania procesów (moduł BPM)

24 Przykład modelowania symulacyjnego systemu ciągłegoSystem logistyczny „zaopatrzenie-produkcja-dystrybucja” System składa się sektorów: klienci, detaliści, dystrybutorzy, hurtownicy, producenci, fabryki. Zamówienia złożone przez klientów wpływają na funkcjonowanie pozostałych sektorów. Klienci zakupują towary u detalisty, który dostarcza towary klientom, jeśli dysponuje odpowiednim zapasem. Detalista składa zamówienia u dystrybutora, który dostarcza towar detaliście a sam składa zamówienia u hurtownika, który z kolei zaopatruje się u producenta. Producent może dostarczać towar dzięki dostawom z fabryk, które je produkują. Czas dostawy pomiędzy dwoma sąsiadującymi sektorami jest stały i wynosi 1 dzień. Z kolei czas przygotowania i przepływu zamówień traktowany jest jako pomijalnie mały (tryb natychmiastowy). W przypadku, gdy zapasy w danym sektorze nie pozwalają na pełną wysyłkę towaru, wysyła się tyle ile jest możliwe. Zamówienia zaległe realizowane są w przyszłości.

25

26 Detalista(t) = Detalista(t - dt) + (DostDyDe - Sprzedaz) * dtINIT Detalista = 4 DostDyDe = ZamDet/TDDe Sprzedaz = ZamKlienta/TDK Dystrybutor(t) = Dystrybutor(t - dt) + (DostHuDy - DostDyDe) * dt INIT Dystrybutor = 4 DostHuDy = ZamDyst/TDDy Hurtownik(t) = Hurtownik(t - dt) + (DosPrHu - DostHuDy) * dt INIT Hurtownik = 4 DosPrHu = ZamHur/TDHu Producent(t) = Producent(t - dt) + (DosFaPr - DosPrHu) * dt INIT Producent = 4 DosFaPr = DosPrHu+(NPr-Producent)/TDP ZamDet(t) = ZamDet(t - dt) + (ZDe - DDe) * dt INIT ZamDet = 4 ZDe = DK+(NDe-Detalista)/DT DDe = DostDyDe ZamDyst(t) = ZamDyst(t - dt) + (ZDy - DDy) * dt INIT ZamDyst = 4 ZDy = DDe+(Ndy-Dystrybutor)/DT DDy = DostHuDy ZamHur(t) = ZamHur(t - dt) + (ZH - DH) * dt INIT ZamHur = 4 ZH = DDy+(NHu-Hurtownik)/DT DH = DosPrHu ZamKlienta(t) = ZamKlienta(t - dt) + (PK - DK) * dt INIT ZamKlienta = 4 PK = PopytKlienta OUTFLOWS: DK = Sprzedaz NDe = 4 Ndy = 4 NHu = 4 NPr = 4 PopytKlienta = 4+STEP(8,10) TDDe = 1 TDDy = 1 TDHu = 1 TDK = 1 TDP = 1

27 Stany zasobów systemu

28 Przepływy w systemie

29 Przykład modelowania symulacyjnego systemu dyskretnegoSymulacja funkcjonowania banku *************************************************************************** * Symulacja banku (język GPSS) * * Jednostka czasu: godzina * Czas EQU ;Średni czas obsługi (komentarz od znaku ;) Kod VARIABLE C1+10 ;Kod czasu dla Urzednik2. Func1 FUNCTION RN1,D2 ;Definicja skumulowanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa .7,Urzednik1/1,Urzednik2 ;wyboru urzędnika. Klienci wybierają Urzednika1 z ;prawdopodobieństwem 0.7, Urzędnika2 z prawd. 0.3. GENERATE , ;Kreowanie (generowanie) kolejnego klienta w banku. ASSIGN Urzednik_nr,FN$Func1 ;Przypisanie numeru urzędnika do parametru transakcji. QUEUE P$Urzednik_nr; ;Początek dla statystyki kolejkowej. SEIZE P$Urzednik_nr ;Zajęcie urzędnika. DEPART P$Urzednik_nr ;Koniec dla statystyki kolejkowej. ADVANCE CzasObslugi, ;Wykonanie obsługi klienta. RELEASE P$Urzednik_nr ;Zwolnienie urzędnika. TERMINATE ;Klient opuszcza bank. * Segment * * Zegar i zbieranie statystyk * GENERATE ;Pomiar statystyk co 1 godzinę pracy banku. SAVEVALUE C1,Q$Urzednik1 ;Pomiar długości kolejki przed Urzednik1. SAVEVALUE V$KodCzasu,Q$Urzednik2 ;Pomiar długości kolejki przed Urzednik2 TERMINATE 1 ;Koniec kolejnej godziny pracy banku START 8 ;Symulacja 8 godzinnego dnia pracy banku

30 Wyniki symulacji Raport symulacjiGPSS World Simulation Report - Sample6-Bank.1.1 Friday, January 02, :17:34 START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES NAME VALUE CZASOBSLUGI FUNC KODCZASU URZEDNIK URZEDNIK URZEDNIK_NR FACILITY ENTRIES UTIL AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY

31 Odwzorowanie upływu czasu w modelach symulacyjnychSymulacja ciągła - metoda stałego kroku Symulacja dyskretna - metoda kolejnych zdarzeń Oznaczenia: E1, E2, zdarzenie nr 1, zdarzenie nr 2, ... T1, T2, czas bieżący symulacji w chwili nr 1, chwili nr 2, ... DT - krok symulacji (wielkość przesunięcia bieżącego)

32 Różnice: Metoda krokowa (stałego kroku w symulacji ciągłej):w symulacji uwzględnia się brak aktywności systemu (obliczenia bez zdarzeń), przetwarzanie zdarzeń traktowanych jako równoczesne na końcu odcinka DT, istnieje DT (problem doboru wartości); Metoda kolejnych zdarzeń (w symulacji dyskretnej): w symulacji nie uwzględnia się braku aktywności systemu (tylko dla zdarzeń), brak przetwarzania zdarzeń jako równoczesnych (wyjątek: Ei = Ej), brak DT.

33 Założenia metody SD (System Dynamics)CIĄGŁOŚĆ Przedmiotem opisu (quasi ciągłego) są procesy systemów ciągłych (interpretowanych jako ciągłe). DYNAMIKA ZMIAN Orientacja na dynamikę (nie kinetykę) zmian w funkcjonowaniu systemów. Źródłem dynamiki jest struktura regulacyjna systemów (sprzężenia, opóźnienia, wzmocnienia) w dualnym układzie "sfera realna - sfera regulacyjna". PRZYCZYNOWOŚĆ Opis systemu poprzez zależności przyczynowo - skutkowe (kauzalizm). OKRESOWOŚĆ Działania regulacyjne w systemach mają charakter okresowy (co krok DT). PRAGMATYZM Orientacja na utylitarne (np. decyzyjne) wykorzystanie rezultatów symulacji przez człowieka. WERYFIKOWALNOŚĆ Postulat możliwości potwierdzenia "dobroci" budowanych modeli (stwierdzenia zasadności i prawdziwości modeli).

34 Zbiór koncepcji dotyczących natury rzeczywistościParadygmaty metody SD Zbiór koncepcji dotyczących natury rzeczywistości IZOMORFIZM STRUKTUR I ZACHOWAŃ Systemy o podobnych strukturach mają podobne zachowania. Ale także: systemy o różnych strukturach mogą mieć podobne zachowania. MIKROSTRUKTURA OKREŚLA MAKROZACHOWANIE Zachowanie się systemu ma charakter endogeniczny i wynika z jego struktury. Np. sprzężenia zwrotne dodatnie destabilizują system a sprzężenia zwrotne ujemne najczęściej stabilizują system. ANTYINTUICYJNOŚĆ Złożoność systemu powoduje trudności przewidywania sposobów jego zachowania się - istnieją częste przypadki błędnego prognozowania zachowań systemów (archetypy). NIELINIOWOŚĆ ZACHOWANIA SYSTEMÓW Zachowanie się systemu ma charakter nieliniowy (efekt sprzężeń zwrotnych, opóźnień i wzmocnień). OGRANICZONA RACJONALNOŚĆ Decyzje podejmowane są w warunkach tzw. ograniczonej racjonalności. BRAK METAREGUŁ MODELOWANIA W procesie budowy modelu wykorzystuje się intuicje, wiedzę i doświadczenie ekspertów, teorie dyscyplin szczegółowych, dane obserwacyjne i empiryczne.

35 Podstawowe elementy metody SDZwiązki przyczynowo - skutkowe i pętle sprzężeń zwrotnych Opóźnienia Zasoby i strumienie przepływu

36 Związki przyczynowo - skutkowe i pętle sprzężeń zwrotnychPętla przyczynowa sprzężenia zwrotnego (ang. feed back) reprezentuje własność elementu systemu polegającą na tym, że element ten wpływa na samego siebie poprzez następstwo łańcucha związków przyczynowych. Podobnie jak w przypadku związków przyczynowych można mówić o pętlach dodatnich, ujemnych, neutralnych oraz o pętlach mieszanych, jako kombinacji pętli elementarnych. Typy sprzężeń zwrotnych: Dodatnie sprzężenie zwrotne Ujemne sprzężenie zwrotne Neutralne sprzężenie zwrotne Układy mieszane sprzężeń zwrotnych

37 Dodatnie sprzężenie zwrotneDodatnia pętla przyczynowa sprzężenia zwrotnego w odniesieniu do pewnego elementu systemu oznacza, że zmiana charakterystyki tego elementu wywołuje po pewnym czasie nową zmianę tej charakterystyki w tym samym kierunku zmiany. Przykłady: Model inflacji - jako efekt dodatnich związków przyczynowych pomiędzy kosztem wytworzenia, ceną zakupu, "naciskiem" na płace. Model ewolucji maltuzjańskiej populacji - jako rezultat dodatnich związków przyczynowych pomiędzy wielkością populacji a wzrostem urodzeń osobników populacji.

38 Ujemne sprzężenie zwrotneUjemna pętla sprzężenia zwrotnego powstaje wtedy, gdy zmiany charakterystyki elementu systemu równoważone są przez działanie przeciwdziałające zmianie wywołując "efekt przeciwny" zmiany. Przykłady: Regulacja temperatury przez termostat, Regulacja poziomu wody w zbiorniku.

39 Neutralne sprzężenie zwrotneIstnieją również pętle sprzężenia zwrotnego określane jako neutralne, które nie są pętlami ani dodatnimi ani ujemnymi. Neutralne pętle sprzężenia zwrotnego charakteryzują się alternatywnym funkcjonowaniem w kierunkach zmian w systemie. Przykłady: Cykl decyzyjny zawierający informacje prowadzącą od określonej decyzji do podjęcia działania na podstawie tej decyzji. Informacja o skutkach działania może być podstawą decyzji o wstrzymaniu lub ponownym podjęciu działania w systemie. Relacja pomiędzy elementami modelu systemu nauczania w szkole: motywacją ucznia do nauki, dokonanych postępach w nauce, wynikami nauczania, presją nauczyciela.

40 Układy mieszane sprzężeń zwrotnychW złożonych systemach, przedstawione powyżej pętle elementarne (dodatnia, ujemna, neutralna) sprzężenia zwrotnego często występują obok siebie tworząc układy mieszane (kombinacje) tych pętli. Przykład: Model rozwoju populacji uwzględniający procesy narodzin nowych członków populacji oraz zgonów w populacji.

41 Opóźnienia Zmiany stanów elementów systemu połączonych związkiem przyczynowym mogą zachodzić równocześnie, co jest zazwyczaj zjawiskiem bardzo rzadkim, lub z pewnym przesunięciem w czasie. W przypadku przesunięcia w czasie mówimy o opóźnieniu reakcji elementu zależnego od zmiany stanu elementu wywołującego bodziec. Charakter występujących opóźnień w systemach może być różny. Na ogół można wyróżnić dwa typy opóźnień: jednorazowe (tzw. opóźnienie skupione) - kiedy skumulowana reakcja pewnego elementu systemu jest przesunięta w czasie względem bodźca ze strony innego elementu systemu, oraz rozłożone w czasie - kiedy reakcja pewnego elementu systemu jest rozłożona w czasie. Opóźnienie skupione charakteryzuje się tym, że zmiana wielkości wyjściowej yt jest taka sama jak zmiana wielkości wejściowej ut, ale następuje z przesunięciem w czasie o okres T, tzn. T: yt = ut-T. W przypadku opóźnienia rozłożonego w czasie, zmiana wielkości wyjściowej yt jest funkcją zmiany wielkości wejściowej oraz tzw. funkcji wagowej z opóźnienia t:

42 Zasoby i strumienie przepływuPojęcie zasobu oznacza wielkość, której wymiar nie odnosi się do czasu, i która oznacza stan ilościowy określonego medium w danym momencie. Jeżeli przedmiotem rozważań są zmiany tej wielkości w czasie, to stosuje się również pojęcie strumienia, który wyraża przepływ określonej ilości medium w rozpatrywanym przedziale czasu. Zasób wiąże się na ogół z występowaniem strumieni wejściowych i wyjściowych. Pierwszy opisuje dopływ medium do zasobu, natomiast drugi opisuje odpływ medium od zasobu. Zasoby w systemach pełnią często rolę akumulacyjną, stąd określa się je także jako zasoby akumulacyjne. Mogą one także pełnić rolę źródła określonego medium lub także ujścia dla medium. Jeżeli przez xt oznaczymy zasób medium w chwili t, przez vt strumień wejściowy do zasobu w okresie dt, przez wt strumień wyjściowy zasobu w okresie dt, to zasób medium w momencie t+dt możemy wyrazić jako: xt+dt = xt + dt (vt - wt). Jeżeli dt jest dostatecznie małe (bliskie 0), to podstawowe równanie kinetyczne zasobów i strumieni możemy przedstawić jako: xt = vt - wt, gdzie xt jest wartością funkcji pochodnej w chwili t. Rozwiązanie ostatniego równania prowadzi do funkcji xt:

43 Podstawowe struktury i obliczenia modeli SDRelacje pomiędzy wielkościami systemu odwzorowane schematycznie i jakościowo w modelu graficznym są konkretyzowane w modelu matematycznym przedstawionym za pomocą układu równań. Wyróżnia się trzy rodzaje równań: równania poziomów, równania strumieni, równania zmiennych pomocniczych.

44 Równania modeli SD Równania poziomów w modelach SD mają postać:POZIOM.K = POZIOM.J + DT (STRWE.JK - STRWY.JK), gdzie DT jest przyjętym okresem obliczeń symulacyjnych, POZIOM.K jest zmienną stanu opisującą dany zasób w chwili K-tej, STRWE.JK jest zmienną stanu opisującą strumień wejściowy do zasobu POZIOM w okresie od chwili J-tej do chwili K-tej, STRWY.JK jest zmienną stanu opisującą strumień wyjściowy zasobu POZIOM w okresie od chwili J-tej do chwili K-tej. Równania strumieni mają postać: STRUMIEŃ.KL = f (Poziomy.K, Zmienne_Pomocnicze.K, Strumienie.JK, Strumienie.KL,Stałe), gdzie STRUMIEN.KL jest wielkością strumienia w okresie od chwili K-tej do chwili L-tej, f jest pewną funkcją wielkości poziomów systemu w chwili K-tej, zmiennych pomocniczych w chwili K-tej, strumieni w okresie JK (czasem także KL) i stałych modelu. Równania wielkości pomocniczych w modelach SD mają postać: ZMIENNA_POMOCNICZA.K = h (Poziomy.K, Strumienie.JK, Stałe), gdzie h jest pewną funkcją wiążącą określone poziomy systemu ze stałymi modelu.

45 Przykłady zapisu równań modeli SDNotacja klasyczna (język DYNAMO) ZAPAS.K = ZAPAS.J + DT * (DOSTAWA.JK – WYSYŁKA.JK) WYSYŁKA.JK = ZAPAS.K / CZAS_WYSYŁKI Notacja IThink ZAPAS(t) = ZAPAS(t-dt) + dt * (DOSTAWA – WYSYŁKA) WYSYŁKA = ZAPAS / CZAS_WYSYŁKI Notacja Vensim ZAPAS = INTEG (DOSTAWA – WYSYŁKA, 100) WYSYŁKA = ZAPAS / CZAS_WYSYŁKI

46 Sekwencja obliczeń symulacyjnych modeli SDSekwencja obliczeń w modelu matematycznym SD przebiega według schematu, w którym czas zmienia się od chwili J (przeszłość), poprzez chwilę K (teraźniejszość) do chwili L (przyszłość). Chwile te są odległe od siebie o wielokrotność kroku DT (tj. DT, 2DT). Znając stan systemu w chwili J można wyznaczyć stan systemu w chwili K wykorzystując znajomość zmiennych stanu w chwili J, strumieni w okresie JK. Znając z kolei wartości zmiennych stanu w chwili K można wyznaczyć wartości zmiennych pomocniczych w chwili K, strumieni w okresie KL. Stan systemu w chwili L można z kolei wyznaczyć w oparciu o stan systemu w chwili K oraz strumieni w okresie KL. Należy zwrócić uwagę jednak, że występowanie zmiennych pomocniczych nie jest zawsze konieczne. Wartości strumieni mogą wtedy być wyznaczone w oparciu o zmienne stanu systemu i stałe modelu.

47 Notacja graficzna metody SDOpis struktury systemu w modelu SD: Schemat graficzny struktury Równania modelu Schemat graficzny Schemat przyczynowo-skutkowy (diagram wpływów) Schemat strukturalny Schemat graficzny struktury (schemat strukturalny) Do przedstawienia modelu w formie graficznej używa się następujących elementów i symboli graficznych: Prostokąt, reprezentujący poziom (zasób) medium w systemie i stowarzyszonego z określoną zmienną stanu modelu matematycznego Linia ciągła, zakończona grotem strzałki, symbolizująca przepływ materialny lub energetyczny Linia przerywana, zakończona grotem strzałki, symbolizująca przepływ informacyjny Znak regulatora przepływu nazywany strumieniem (dwa trójkąty równoramienne złączone wierzchołkiem i uzupełnione prostokątem), określający stanowisko regulacji przepływu medium na podstawie pewnej funkcji regulacyjnej, zapisanej formalnie w modelu matematycznym Okrąg, reprezentujący wielkość pomocniczą, która jest definiowana w procesie przetwarzania informacji wykorzystywanej do regulacji strumieni Okrąg przekreślony odcinkiem, symbolizujący wielkości stałe w systemie (parametry) Nieregularny owal (‘chmurka’) reprezentujący źródło zewnętrzne wypływu medium lub ujście zewnętrzne przepływającego medium.

48 Notacja graficzna metody SD – schemat strukturalny

49 Proces modelowania SD

50 Metody tworzenia DPS Istotnym elementem procesu konceptualizacji modelu SD jest odpowiednio skonstruowany diagram przyczynowo - skutkowy (DPS). Istnieją trzy podstawowe metody tworzenia DPS: metoda wg rozszerzającej się listy odwzorowanych wielkości (ang. List Extention Method), metoda wg logiki przejścia obiektów ze stanu do stanu (ang. Entity/State Transition Method), metoda wg wspólnych (powtarzalnych) modułów (ang. Common Modules Method).

51 Postępowanie badawcze modelowania za pomocą metody SDSformułowanie problemu badawczego. Ustalenie czynników analizowanego zjawiska (etap konceptualizacji modelu). Wyodrębnienie związków przyczynowych i pętli sprzężeń zwrotnych wiążących działania regulacyjne z decyzjami, informacjami i tworzących mechanizm przyczynowo - skutkowy modelowanego systemu (schemat/diagram przyczynowo - skutkowy, schemat strukturalny). Identyfikacja i ustalenie opisu formalnego reguł decyzyjnych (równania). Skonstruowanie matematycznego modelu systemu (układ równań SD). Wykonanie eksperymentów symulacyjnych na modelu. Porównanie wyników symulacyjnych z dostępnymi informacjami o badanym systemie jego funkcjonowaniu. Wprowadzenie do modelu zmian mających na celu uzyskanie akceptowanej zgodności modelu z zachowaniem się oryginału. Projektowanie zmian lub ingerencji w modelowanym systemie, poprawiających charakterystyki dynamiczne systemu. Wdrożenie w systemie rzeczywistym zaprojektowanych zmian lub ingerencji.

52 Etapy budowy modelu symulacyjnego w systemie Vensim PLEKonceptualizacja modelu Ustalenie jednostki czasu w modelu Sporządzenie listy wielkości modelu (symbol, opis, jednostka miary) Wykonanie diagramu przyczynowo skutkowego (sieć relacji, polaryzacja) Formalizacja modelu Wykonanie diagramu strukturalnego (mapy modelu) w konwencji metody SD (zasoby, strumienie, zmienne pomocnicze, stałe, funkcje) Ustalenie równań modelu Eksperyment na modelu Dobór parametrów (ustawienia) symulacji (czas początkowy, czas końcowy, krok symulacji, krok zapisu, metoda całkowania) Dobór trybu eksperymentu (normalny/poglądowy) Wykonanie eksperymentów i analiza wyników

53 Problemy obliczeniowe w metodzie Dynamiki SystemówDobór kroku DT symulacji Dokładność całkowania Szybkość obliczeń Interpretacja DT jako wielkości modelu Dobór metody całkowania numerycznego Dokładność obliczeń Dobór postaci równań Błędy w obliczeniach zmiennoprzecinkowych Bifurkacje (katastrofy)

54 Problem doboru DT w modelach SD – przykład zaburzeń numerycznychDT = 1 DT = 20

55 Problemy wyboru metody całkowania numerycznego w modelach SD (Euler, Runge-Kutta)

56 Dobór DT Zasada J.W.Forrester’a (zależność DT od opóźnień modelu)Zasada R.L.Coyle’a (zależność DT od opóźnień modelu) Zasada N.Roberts (zależność DT od struktury modelu) Zasada E.Zwieckera (zależność DT od przyjętej jednostki czasu w modelu)

57 Dobór DT Zasada J.W.Forrester’aDługość kroku czasowego DT w modelu nie powinna być większa od połowy wartości minimalnego opóźnienia 1. rzędu użytego w tym modelu, nie powinna jednak być mniejsza od 1/5 wartości tego opóźnienia. Oznacza to, że: gdzie DELi jest i-tym opóźnieniem odwzorowanym w modelu, ni jest rzędem i-tego opóźnienia odwzorowanego w modelu.

58 Dobór DT Zasada R.L.Coyle’aDługość kroku czasowego DT w modelu nie powinna być większa od 1/10 wartości minimalnego opóźnienia 1. rzędu odwzorowanego w tym modelu. Oznacza to, że: gdzie DELi jest i-tym opóźnieniem odwzorowanym w modelu, ni jest rzędem i-tego opóźnienia odwzorowanego w modelu.

59 Dobór DT Zasada N.RobertsDługość kroku czasowego DT dobieramy dla każdego modelu SD, aż zostanie dobrana taka długość, że jej zmniejszenie nie powoduje dostrzegalnych zmian w wynikach tego modelu. W modelach z dodatnią pętlą sprzężenia zwrotnego wywołującą wzrost wykładniczy, długość kroku DT przyjmujemy w granicach od 1/5 do 1/10 "czasu podwojenia" T2 (czasu podwojenia początkowej wartości poziomu). W modelach z ujemną pętlą sprzężenia zwrotnego długość kroku DT przyjmujemy w granicach od 1/3 do 1/4 czasu T1/2 zmniejszenia o połowę początkowej wartości poziomu. Warunki te możemy przedstawić następująco: dla dodatniej pętli sprzężenia ze wzrostem wykładniczym: dla ujemnej pętli sprzężenia zwrotnego:

60 Dobór DT Zasada E.Zwiecker’aRozumowanie jest oparte na sposobie interpretowania procesu decyzyjnego, agregacji wielkości odwzorowanych w modelu oraz zasadzie włączenia kroku czasowego DT w obręb struktury modelu (sprzeczność z założeniami metody SD J.W.Forrestera). Zdaniem E.Zwiecker’a, w modelach typu SD należy przyjmować długość kroku czasowego DT zawsze równą 1 (DT=1), niezależnie od występujących w modelu opóźnień i pętli sprzężeń zwrotnych. DT = 1

61 Dobór metody całkowaniaPodstawy zagadnienia całkowania numerycznego w modelach SD są następujące. W modelach SD określa się postać funkcji: gdzie funkcja xt podcałkowa jest z kolei funkcją yt oraz czasu t: Wartość funkcji yt jest określana iteracyjnie dla kolejnych przedziałów zmiennej niezależnej t i wyznaczonych przyjętym krokiem iteracyjnym Dt = DT. Problem całkowania numerycznego w modelach SD sprowadza się do wyznaczenia wartości funkcji: Wartość funkcji całkowanej jest wyznaczana jedynie w określonych punktach czasowych różniących się wielokrotnością t, zatem funkcję całkowaną yt można wyrazić jako funkcję yn, gdzie t=nDt.

62 Dobór metody całkowaniaW modelowaniu SD wykorzystuje się do całkowania numerycznego zarówno metody ekstrapolacyjne jak i nieekstrapolacyjne. W metodach ekstrapolacyjnych wykorzystuje się więcej wartości funkcji podcałkowej, tzn. np. xn, xn-1, xn-2, itd, aby poprzez odpowiednią formułę ekstrapolacyjną oszacować wartość xn+1. W metodach nieekstrapolacyjnych do obliczenia wartości funkcji yn+1 wykorzystuje się tylko wartości funkcji yn i xn. Jakkolwiek metody ekstrapolacyjne zapewniają większą dokładność wyników niż metody nieekstrapolacyjne, nie powinny być one jednak, ze względu na potencjalne nieciągłości funkcji podcałkowej xt, stosowane w modelach SD.

63 Dobór metody całkowaniaNajczęściej stosowaną metodą całkowania nieekstrapolacyjnego jest metoda Eulera (zwana także metodą prostokątów). W metodzie tej zakłada się, że wartość funkcji podcałkowej jest stała w całym zakresie przedziału kroku iteracyjnego i jest równa wartości funkcji podcałkowej na początku tego przedziału. Wartość funkcji całkowanej na końcu przedziału iteracyjnego wynosi: yn+1 = yn + xn Dt, zaś funkcji podcałkowej: xn+1 = f(yn+1,t). Metoda prostokątów jest stosowana najczęściej w metodzie SD, gdzie zgodnie z przyjętą w tej metodzie notacją punkty czasowe n-1, n, n+1oznacza się odpowiednio J, K, L.

64 Dobór metody całkowaniaIstnieją również metody nieekstrapolacyjne o powtarzalnym kroku całkowania. W takich metodach pierwsze obliczenie wartości yn+1 wykonuje się stosując metodę pojedynczego kroku. Obliczona następnie wartość xn+1 jest traktowana jako pierwsze przybliżenie wartości xn+1 i jest wykorzystywana do powtórnego, dokładniejszego całkowania. Przykładem nieekstrapolacyjnej metody całkowania z podwójnym krokiem jest metoda Runge-Kutta’ego, zwana nieraz także metodą trapezową. Operacja całkowania jest w niej dokonywana w sposób następujący: W metodzie trapezowej wartość funkcji podcałkowej jest średnią arytmetyczną wartości początkowej xn oraz przybliżonej wartości końcowej.

65 Dobór metody całkowaniaW modelach SD, zgodnie z przyjętą procedurą całkowania numerycznego za pomocą metody trapezowej, obliczone wartości zmiennych pomocniczych w chwili K-tej i strumieni na okres KL są wykorzystane do obliczenia przybliżonej wartości poziomów w chwili L. Przybliżona wartość poziomów jest wykorzystana z kolei do wyznaczenia przybliżonych wartości zmiennych pomocniczych i strumieni, które z kolei pozwalają po zastosowaniu reguły trapezowej Runge-Kutta na wyznaczenie dokładniejszej wartości poziomów, zmiennych pomocniczych i strumieni.

66 Dobór danych wejściowych symulacjiPrzed rozpoczęciem obliczeń symulacyjnych należy zdefiniować stan początkowy systemu. Stan początkowy systemu w chwili t=t0 wyznaczony jest przez określenie wartości zmiennych stanu w chwili t0. W zależności od celu i kontekstu badań symulacyjnych istnieją dwa zasadnicze sposoby definiowania wartości początkowych dla zmiennych stanu: wartości początkowe zmiennych stanu odwzorowują stany systemu rzeczywistego; wartości początkowe zmiennych stanu odpowiadają warunkom równowagi dynamicznej modelu.

67 Modelowanie ograniczeń pojemnościowychL1(t) = L1(t - dt) + (R1 - R2) * dt INIT L1 = 100 INFLOWS: R1 = MIN(F,(C1-L1)/DT) OUTFLOWS: R2 = L1/T1 C1 = 250 F = 100+STEP(10,50) T1 = 5

68 Typy zachowań systemów dynamicznych

69 Typy zachowań systemów dynamicznych

70 Stany ustalone w modelach SD (Równowaga modelu)Równowaga dynamiczna Wszystkie poziomy (zasoby) są stałe, tzn. Inflows=Outflows (Dopływy=Odpływy) Równowaga statyczna Wszystkie poziomy (zasoby) są stałe i strumienie równe 0, tzn. Inflows=Outflows=0 (Dopływy=Odpływy=0)

71 Stany ustalone w modelach SD (Równowaga modelu - przykład)

72 OPROGRAMOWANIE MODELOWANIA SD Ewolucja systemów

73 Modele SD Zastosowanie pakietu Excel Przykład

74 Modele SD Zastosowanie pakietu Excel PrzykładWyniki symulacji Time ZSP ZST OD PG WS PP 0,00 150,00 30,00 1,00 15,00 2,00 45,00 135,00 3,00 22,50 52,50 34,50 115,50 6,90 26,25 4,00 56,25 53,85 96,15 10,77 28,13 5,00 58,13 71,21 78,80 14,24 29,06 6,00 59,06 86,03 63,97 17,21 29,53 7,00 59,53 98,35 51,65 19,67 29,77 8,00 59,77 108,45 41,55 21,69 29,88 9,00 59,88 116,64 33,36 23,33 29,94 10,00 59,94 123,25 26,75 24,65 29,97 11,00 59,97 128,57 21,43 25,71 29,99 12,00 59,99 132,84 17,16 26,57 13,00 136,27 13,73 27,25 14,00 60,00 139,01 10,99 27,80 141,21 8,79 28,24 16,00 142,96 7,04 28,59 17,00 144,37 5,63 28,87 18,00 145,50 4,50 29,10 19,00 146,40 3,60 29,28 20,00 147,12 2,88 29,42

75 METODY SYMULACJI DYSKRETNEJ Podstawowe pojęciaIstnieją 3 metody SMD (zdarzeniowa, czynnościowa, procesowa). Różnice pomiędzy metodami SMD dotyczą algorytmu przetwarzania oraz orientacji na inne elementy modelowania: zdarzenie, czynność, proces.

76 Zdarzenie, czynność, procesZdarzenie jest zmianą stanu systemu. Może ona być albo zmianą atrybutów obiektów wyróżnionych w systemie, bądź też wprowadzaniem/kasowaniem nowych obiektów (zgłoszeń). Czynność (działanie) jest zbiorem, niepodzielnych na danym poziomie konceptualizacji modelu, operacji, w wyniku których ulegają zmianie stany systemu. Proces jest chronologicznie (w czasie) uporządkowanym zbiorem zdarzeń związanych z każdym pojedynczym zgłoszeniem w systemie od chwili jego pojawienia się w systemie do chwili jego zaniku w systemie. Proces składa się z działań natomiast działanie jest określane poprzez zdarzenia.

77 Zdarzenie, czynność, proces

78 METODY SYMULACJI DYSKRETNEJ Podstawowe pojęciaPlanowania zdarzeń (Event Oriented) Polega na zastosowaniu w modelu obiektu o nazwie kalendarz zdarzeń definiującego następstwo typów zdarzeń bezwarunkowych oraz szczegółowym opisie czynności, które są realizowane w systemie po zajściu określonego zdarzenia. Przeglądu i wyboru działań (Activity Oriented) Polega na rozpatrywaniu wszystkich działań systemu celem określenia, które z nich z chwilą zajścia określonego zdarzenia powinny być rozpoczęte, a które zakończone. Interakcji procesów (Process Oriented) Łączy w sobie cechy charakterystyczne metod planowania zdarzeń oraz przeglądu i wyboru działań. Polega na grupowaniu działań w procesy wykonywane na pojedynczych dynamicznych obiektach (transakcjach) systemu i rejestracji ich stanu od chwili pojawienia się w systemie do chwili zaniku.

79 Podstawowe elementy SMDZegar systemu, który jest obiektem dynamicznym rejestrującym czas systemu rzeczywistego; Kalendarz systemu, który jest obiektem dynamicznym zawierającym zegar systemu oraz zbiór informacji o zdarzeniach (typ zdarzeń, parametry zdarzeń); Transakcje, które są obiektami dynamicznymi systemu pojawiającymi się w systemie jako zgłoszenia o określonych atrybutach; Czynności i zasoby systemu, które są obiektami statycznymi systemu (jednokanałowe, wielokanałowe stanowiska obsługi) wraz z regulaminami kolejkowymi i obsługowymi.

80 Inne komponenty SMD Liczniki statystyczneZmienne z informacją statystyczną o funkcjonowaniu systemu. Generator liczb losowych Moduł obliczania liczb pseudolosowych o podanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Moduł inicjalizacji symulacji Moduł uruchomienia symulacji dla czasu zerowego. Moduł zmiany czasu Moduł wyznaczający następne zdarzenie z kalendarza i zmieniający czas symulacji. Moduł obsługi zdarzeń Moduł przetwarzający stan systemu przy zajściu zdarzenia (moduł dla każdego typu zdarzenia). Generator raportu symulacji Moduł obliczania estymatorów dla miar funkcjonowania systemu (dla liczników statystycznych) oraz prezentacji raportu na koniec symulacji. Program główny symulacji Podprogram uruchamiania modułów: zmiany czasu, obsługi zdarzeń w celu wyznaczenia zmiany stanu systemu.

81 Analiza wyników eksperymentów wykonywanych na SMDCharakter stochastyczny wyników symulacji Jeżeli w modelu symulacyjnym systemu dyskretnego do opisu przynajmniej jednej zmiennej wprowadzono zmienną losową, to wyniki symulacji mają również charakter procesów losowych. Funkcjonowanie i zachowanie się systemów dyskretnych (obsługa masowa, zarządzanie, planowanie) ocenia się w kategoriach makroskopowych, statystycznych za pomocą charakterystyk syntetycznych (wartości średnie, wariancje, momenty wyższych rzędów. Procesy losowe dzielą się na klasy: procesy stacjonarne (charakterystyki statystyczne są wielkościami stałymi) oraz procesy niestacjonarne (charakterystyki statystyczne są zmienne w czasie). Niestacjonarność jest czynnikiem utrudniającym analizę wyników symulacji – należy dążyć do jej eliminacji.

82 Analiza wyników eksperymentów wykonywanych na SMDTypowy przebieg procesu losowego w symulacji: okres przejściowy (niestacjonarny), okres ustalony (stacjonarny). Metody eliminacji wpływu fazy przejściowej w symulacji: wydłużenie czasu obserwacji, podział eksperymentu na dwie fazy: wstępną („jałową”, „rozgrzewania”) bez gromadzenia informacji, właściwą z gromadzeniem informacji. Cel eksperymentu symulacji dyskretnej – ocena wybranych charakterystyk statystycznych obserwowanych procesów.

83 Generatory liczb losowych (pseudolosowych)Znaczenie metod generowania liczb o rozkładzie równomiernym Jeżeli zmienna losowa X przyjmuje każdą wartość w przedziale od a do b z jednakowym prawdopodobieństwem, to jej gęstość jest stała i równa (a-b)-1 dla a≤x≤b oraz 0 poza tym przedziałem. O zmiennej losowej X mówimy, że ma rozkład równomierny (jednostajny, prostokątny) na przedziale [a,b]. Średnia rozkładu równomiernego: (a+b)/2 Wariancja rozkładu równomiernego: (b-a)2/12 Zastosowanie: Opis sytuacji dokonywania losowego wyboru jednej z wielu możliwości; Konstrukcja generatorów dowolnych rozkładów prawdopodobieństwa. Aa

84 Generatory liczb losowych (pseudolosowych)Konstrukcja generatorów liczb o rozkładzie równomiernym Podstawowa zależność: rekurencyjna (generator mieszany) xi = bxi-1 + c (mod m), gdzie liczby xi, xi-1 , b, c są liczbami całkowitymi z przedziału [0,m]. Aby otrzymać liczby losowe o rozkładzie równomiernym na przedziale (0,1) należy jako liczbę losową przyjąć ri = xi/m). Jeżeli c=0, to dostajemy generator multiplikatywny xi = bxi-1 (mod m)

85 Sytuacje modelowania dyskretnego

86 Lektura uzupełniającaMaciąg A., Pietroń R., Kukla S., Prognozowanie i symulacja w przedsiębiorstwie, Wyd. PWE Warszawa 2013. Pietroń R., Modelowanie i projektowanie procesów i systemów logistycznych, Wyd. WSOWL Wrocław, 2015. Pietroń R., Modelowanie symulacyjne w logistyce. E-materiał PWr., Pietroń R., Modelowanie symulacyjne. Wybrane zagadnienia, E- Materiał PWr., Pietroń R., Zbiór zadań z modelowania symulacyjnego, E- Materiał PWr.,