1 Wykład 2 Dr Wioleta Drobik- CzwarnoBiomatematyka Wykład 2 Dr Wioleta Drobik- Czwarno

2 Funkcja Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację R określoną w produkcie zbiorów X x Y o takiej własności, że dla dowolnego x  X istnieje dokładnie jeden y  Y, że xRy. Inaczej: Przyporządkowanie dowolnemu elementowi x  X dokładnie jednego elementu ze zbioru x  Y

3 Funkcja X – dziedzina funkcji (zbiór argumentów funkcji)a,b,c,g,h - Argumenty funkcji Y – zbiór wartości funkcji 1,3,5,13 – wartości funkcji

4 Funkcje w naukach biologicznychZależności pomiędzy różnymi cechami charakteryzującymi badane obiekty Przez x oznaczamy wartość cechy 1 wyrażonej w odpowiednich jednostkach: masa, powierzchnia, stężenie, czas a przez wartość y wartość cechy 2. Najczęściej spotykane sytuacje: Przebieg jakiegoś procesu (cecha 2) w czasie (cecha 1) Proces który charakteryzuje cecha 1 wpływa na proces, który charakteryzuje cecha 2 Charakteryzujemy proces, który jest bezpośrednią przyczyną zmian wartości obu cech (1 i 2)

5 Funkcja liniowa Notatka: oznaczenia na wykresie się nie zgadzają (zamienic a na m) Przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do odpowiadającego mu przyrostu wartości argumentów f(x)=mx+b m – współczynnik kierunkowy prostej (tg α), opisuje nachylenie względem osi X b – wyraz wolny funkcji, wskazuje punkt przecięcia z osią Y Jeżeli m > 0, to f(x) jest funkcją rosnącą, natomiast jeżeli m < 0, to f(x) jest funkcją malejącą Jeżeli m = 0 to f(x) jest funkcją stałą Graficznie reprezentowana przez linie prostą

6 Funkcja liniowa Zależność pomiędzy temperaturą denaturacji DNA, a zawartością par GC. Równanie ogólne (oC): tm= 81,5 + 16,6(log[Na+])+0,41 (%GC)-(500/dł. DNA) Gdzie: Na+ jest stężeniem [mol/l] jonów sodowych, a długość DNA jest mierzona w parach zasad [pz] Rozerwanie potrójnego wiązania wodorowego między GC wymaga większej energii niż podwójnego AT DNA o większej liczbie par GC będzie miało wyższą temperaturę denaturacji

7 Funkcja liniowa Zakładamy, że DNA rozpuszczone jest w roztworze zawierającym 100 mmol/l NaCl będzie miało temperaturę denaturacji równą: tm= 64,9 + 0,41(%GC) -(500 / dł. DNA) Zadania: Jaka będzie temperatura denaturacji cząsteczki DNA o długości 450 pz oraz zawartości par GC równej 50%? Jaka jest zawartość %GC cząsteczki DNA o długości 800 pz jeżeli jej tm = 92oC? Musimy przeprowadzić denaturację dwóch cząsteczek DNA, jedna o długości 640 pz, natomiast druga 1050 pz. Która z nich będzie miała wyższą temperaturę topnienia jeżeli % zawartość GC jest dla obydwu taka sama? Jaka jest maksymalna temperatura denaturacji dla cząsteczki DNA o długości 500 pz?

8 Funkcja potęgowa Wykładnik (p) jest ustalony, natomiast podstawa jest argumentem funkcji (x) f(x)=axp Dziedzina jest zależna od wartości p Jeżeli p jest pozytywną liczbą całkowitą dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste Jeżeli p jest ujemną liczbą całkowitą dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem 0 Jeżeli p jest ułamkiem postaci n/m, gdzie n jest liczbą naturalną, a m jest liczbą naturalną nieparzystą – dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych Przykłady

9 Funkcja potęgowa

10 Funkcja potęgowa Prosty model wzrostu nowotworu – rówananie von Bertalanffiego z 1934 roku gdzie: a, b, ,  są pozytywnymi stałymi x wyznacza rozmiar guza (masa lub liczba komórek) axα – wzrost nowotworu; bxβ – rozpad nowotworu

11 Wzrost nowotworu Przy jakich warościach parametrów a i b guz będzie zwiększał swoją objętość jeżeli α=2/3, a β=1?

12 Funkcja wykładnicza Funkcja wykładnicza – podstawa jest ustalona (a), a wykładnik jest argumentem funkcji f(x)=ax Domeną są wszystkie liczby rzeczywiste, natomiast zbiorem wartości są wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste Przykłady:

13 Funkcja wykładnicza Jeżeli a > 1, to funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą Jeżeli a  (0,1), to funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą

14 Funkcja wykładnicza rosnącaWiek N <1 23 1-4 19 5-9 10 10-14 12 15-19 20-24 33 25-29 59 30-34 101 35-39 160 40-44 265 45-49 398 50-54 576 55-59 803 60-64 1059 65-69 1353 70-74 1603 75-79 1817 80-84 1897 >80 1790 Źródło: https://nccd.cdc.gov/uscs/ Liczba przypadków choroby nowotworowej na osób w zależności od wieku

15 Funkcja wykładnicza malejącaCzas trwania terapii N 123550 2 12170 4 975 6 150 8 80 10 55 12 25 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Źródło: https://nccd.cdc.gov/uscs/ Spadek liczby wirusów we krwi na skutek prowadzenia terapii w zależności od czasu

16 Wykładniczy wzrost populacjiWzrost wykładniczy N(t) =  N0e rt t – upływ czasu N0 – stała, początkowa liczebność populacji r – tempo wzrostu e – liczba Eulera (~2, …..) Ile bakterii będzie po 51 godzinach jeżeli zaczynamy od jednej komórki, która dzieli się co 3 godziny? Na początku wyznaczamy tempo wzrostu (r): Początkowa liczebność populacji jest równa 1 W 3 godzinie populacja podwoiła swoją liczebność Jakie jest tempo wzrostu naszej kolonii bakterii? Rozwiązujemy dla r: ponieważ to więc

17 Wykładniczy wzrost populacjiJak wygląda wzór na wykładniczy wzrost populacji bakterii przy założeniu podziałów co 3 godziny? Ile bakterii będzie po 51 godzinach? Od jakiej liczby bakterii należy zacząć aby otrzymać po 42 godzinach? Ilu godzin (h) potrzeba aby z 6 bakterii otrzymać 12288, zachowując stałe tempo podziałów?

18 Funkcja kwadratowa Jest funkcją wielomianową drugiego stopniaMusi wystąpić x2; x oraz stała (c) są opcjonalne y = ax2 + bx + c Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola. Dla funkcji kwadratowej f(x)=x2 współczynniki liczbowe a,b,i c mają następujące wartości: a = 1 b = 0 c = 0 Ponieważ współczynnik a jest dodatni ramiona parboli są skierowane do góry ramiona wierzchołek

19 Prawo Hardy’ego-WeinbergaFunkcja kwadratowa Prawo Hardy’ego-Weinberga W populacji znajdującej się w stanie równowagi genetycznej częstość występowania genotypów zależy wyłącznie od częstości alleli i jest stała z pokolenia na pokolenie Locus dwualleliczne: p2 = frakcja homozygot AA 2pq = frakcja heterozygotyczna q2 = frakcja homozygot aa (p + q)2 = p2 + 2pq + q2 = 1

20 Geometryczna reprezentacja prawa HW♀ ♀ Aa AA p=0,3 p=0,9 Aa AA aa p=0,7 Aa q=0,1 aa aa Aa ♂ q=0,1 ♂ p=0,9 p=0,7 p=0,3

21 Loci wieloalleliczne (p+q+r)2Barwa sierści u królików warunkowana jest przez szereg alleli wielokrotnych: C – czarny; Cch – szynszyl, c – albinos. Jaki będzie udział procentowy osobników czarnych, a jaki albinosów w populacji w której frekwencja alleli warunkujących czarne oraz szynszylowe umaszczenie jest równa odpowiednio 0,3 oraz 0,5. (p+q+r)2 CchCch ; Cchc C- cc

22 Prawo Hardy’ego-WeinbergaJak wyznaczyć przy jakiej frekwencji alleli będzie najwięcej heterozygot? Frekwencja heterozygot: 2pq Wiedząc, że q=1-p wiemy, że f(Aa)=-2p2+2p Szczyt wierzchołka funkcji w punkcie x (p) wyznaczamy ze wzoru gdzie

23 Subdominacja Stan równowagi doboru przy subdominacjiKtóre z poniższych równań pozwoli znaleźć frekwencję p w stanie równowagi? A. C. B.

24 Subdominacja Rozwiązanie:

25 Subdominacja Przy jakiej frekwencji alleli populacja będzie w równowadze jeżeli działają na nią następujące czynniki selekcyjne: A) s1 = 0,9; s2 = 0,3 B) s1 = 0,3; s2 = 0,3 Wyznacz miejsca zerowe funkcji Przypomnienie: Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdą wartość argumentu x, dla którego wartość funkcji y jest równa 0  Wyróżnik Jeżeli  = 0 Jeżeli  > 0 Jeżeli  <0 brak miejsc zerowych

26 w(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxnFunkcja wielomianowa Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych w postaci: w(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn Gdzie: a – liczby rzeczywiste nazywane współczynnikami wielomianu Zastosowania Systemy klasyfikacyjne w botanice bazujące na matematycznym opisie profilu krawędzi liści Klasyfikacja materiału kostnego w paleontologii Możliwość zapisania skomplikowanej informacji o kształcie za pomocą jak najmniejszego zbioru danych

27 Funkcja wielomianowa

28 Wielomiany SubdominacjaDostosowanie genotypu heterozygotycznego jest niższe niż pozostałych dwóch genotypów Niektóre geny warunkujące odporność na herbicydy u roślin warunkują gorsze dostosowanie w formie heterozygotycznej przy braku herbicydów w środowisku Motyle Pseudacraea eurytus – homozygoty w formie pomarańczowej lub niebieskiej upodabniają się do innych (trujących) gatunków, czego nie obserwujemy u heterozygot Ryzyko cukrzycy jest największe dla osób heterozygotycznych (D3/D4) pod względem HLA-DR

29 Funkcja wymierna Funkcją wymierną nazywamy funkcję będąco ilorazem dwóch wielomianów Wzór: f(x) = W(x) / G(x) gdzie W(x), G(x) są wielomianami i G(x) ≠ 0 (jest wielomianem niezerowym) Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zbioru wszystkich miejsc zerowych wielomianu G(x)

30 Funkcja wymierna - przykładyWskaźnik BMI Równanie Michelisa-Mentena opisuje zależność szybkości reakcji od stężenia substratu: wielomian stopnia 1-go wielomian stopnia II-go

31 Funkcja wymierna - przykładyPrzyrost inbredu na pokolenie Prawdopodobieństwo, że dwa allele w losowo wybranym locus pochodzą od wspólnego przodka i są identyczne Przyrost inbredu na pokolenie Efektywna wielkość populacji Liczba osobników, które w populacji wyidealizowanej dawałyby taki sam przyrost inbredu jaki wystąpiłby w populacji rzeczywistej. Nf – liczba samic przystępujących do rozrodu Nm – liczba samców przystępujących do rozrodu

32 Funkcja wymierna - przykładyJaka będzie efektywna wielkość populacji w której do rozrodu przystępuje 100 samic i: 50 samców 100 samców Ile będzie wynosiła efektywna wielkość populacji, w której do rozrodu przystępuje tylko jeden samiec, a liczba samic jest bardzo duża (Nf  )?

33 Mutacje i selekcja Dlaczego szkodliwe allele nie są na stałe eliminowane z populacji? Równowaga pomiędzy selekcją a mutacją Czym rzadziej występuje dany allel tym bardziej zwiększa się frekwencja mutacji Szkodliwy allel wykazuje częściową dominację Szkodliwy allel jest całkowicie recesywny

34 Choroba Huntingtona Dziedziczna zaburzenie charakteryzujące się degeneracją układu neuromięśniowego pojawiające się najczęściej po 35 roku życia Mutacja jest dominująca jednak wpływ na dostosowanie wykazuje częściową dominację ze względu na późny wiek ujawniania się choroby hs oszacowano na 0,19 Częstość allelu odpowiedzialnego za chorobę szacuje się na 5 x 10-5 Jaka jest częstość mutacji?

35 Funkcja logarytmicznaFunkcja logarytmiczna – logarytm o podstawie a z x to potęga do której trzeba podnieść a, aby otrzymać x f(x)=logax gdy x= ay Założenia: a>0, a≠1, x>0 Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich Skala logarytmiczna jest skalą nieliniową Logarytm naturalny lnx = logex Stała wykładnicza (liczba Eulera) to liczba niewymierna, będąca podstawą logarytmu naturalnego, wynosząca w przybliżeniu e=2, …

36 Logarytm dziesiętny Logarytm przy podstawie dziesiętnej logx = log10xLogarytm dziesiętny liczby określa jej rząd wielkości: Log 1 = 0 Log 10 = 1 Log 100 = log 102 = 2 Log 1000 = log 103 =3

37 Funkcja logarytmicznaLogarytm naturalny jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej Wykresy funkcji są symetryczne względem prostej o równaniu y=x

38 Logarytmy Odkrywca: John NapierA Description of the Wonderful Law of Logarithms, opublikowana w 1614 Zanim wymyślono kalkulatory obliczanie iloczynów kilku liczb oraz potęg sprawiało trudności Umożliwiały zastąpienie operacji mnożenia i dzielenia, dodawaniem i odejmowaniem

39 Logarytmy - zastosowanieSkala kwasowości pH Oparta na aktywności jonów hydroniowych H3O+ w roztworach wodnych pH = -log[H3O+] Mieści się w przedziale od 0 do 14 pH wody destylowanej jest równe 7 czyli stężenie jonów H3O+ wynosi mol/l Dlaczego wprowadzono pojęcie i skalę pH, zamiast bezpośrednio określać stężenie jonów? Przykład: 0,1 molowy roztwór NaOH, który zawiera 0, mol/dm3 jonów H3O+ Wartość funkcji pH zmienia się nieznacznie przy dużych zmianach stężenia, np. podczas dziesięciokrotnej zmiany stężenia wartość pH zmienia się tylko o jednostkę

40 Logarytmy - zastosowanieSkala Richtera Określa siłę trzęsienia ziemi na podstawie logarytmu dziesiętnego amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych Jest skalą nieliniową

41 Logarytmy - zastosowanieZmierzono masę ciała różnych gatunków zwierząt: Nietoperz = 7 g Mysz = 20 g Człowiek = 80 kg Tur = 900 kg Wieloryb = 100 t Zaznacz te wartości na osi OX w zwykłej skali oraz w skali logarytmicznej

42 Logarytmy - zastosowanieSkala liniowa HIV-1 9800 pz Amoeba dubia 670 mld pz Skala logarytmiczna Źródło:

43 Współrzędne log-log Funkcja potęgowa: y=bxa po zlogarytmowaniu:Wykorzystywana do graficznego przedstawiania eksperymentów jeżeli zależność pomiędzy cechami jest funkcją potęgową lub wykładniczą Funkcja potęgowa: y=bxa po zlogarytmowaniu: log y = log (bxa) = log b + a log x Oznaczając Y=log y; X = log x; B = log b otrzymujemy: Y = aX + B zależność jest liniowa na nowych współrzędnych tzw. współrzędnych podwójnie logarytmicznych

44 Współrzędne log-log Funkcja wykładnicza: y=bax po zlogarytmowaniu:log y = x log a + log b Oznaczając B = log b, ; A = log a otrzymujemy: Y = Ax + B zależność jest liniowa na nowych współrzędnych tzw. współrzędnych półlogarytmicznych - wartości logarytmów jedynie na jednej osi (Y) - wartości x-ów pozostają bez zmian na osi X

45 Współrzędne log-log Przykład: powierzchnia obszaru, a liczba gatunków(ang. species-area relationship) Przedstawienie zależności wykładniczej w formie liniowej ułatwia interpretacje: Jeżeli populacja rośnie wykładniczo zobaczymy linie prostą Jeżeli wzrost jest wolniejszy niż wykładniczy krzywa będzie wypukła Jeżeli wzrost jest szybszy niż wykładniczy krzywa będzie wklęsła

46 Współrzędne log-log Poniższa tabela przedstawia liczbę gatunków płazów i gadów na Antylach w zależności od powierzchni wyspy (Darlington, 1957) Zmiany liczebności populacji drozdów w pewnym okresie można wyrazić następującym równaniem N = 343 x (0,356)t , gdzie t oznacza lata. Przekształcić podaną funkcję przez logarytmowanie i przedstawić na wykresie zmiany liczebności populacji w ciągu 5 lat uwzględnionych w tabeli. mi2 Liczba gatunków 4 5 40 10 400 20 4000 40000 80 Przedstaw zależność na skali liniowej oraz na współrzędnych logarytmicznych

47 Dziękuję za uwagę Źródła:Matematyka dla biologów Wrzosek Dariusz Biology by numbers, 1998, Richard F. Burton