1 Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego pojęcie powierzchni regularnej pojęcie odwzorowania powierzchni w powierzchnię pojęcie odwzorowania kartograficznego

2 Pojęcie powierzchni regularnejWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Pojęcie powierzchni regularnej Powierzchnia opisana równaniem wektorowym jest powierzchnią regularną wówczas gdy dla każdego punktu tej powierzchni spełniona jest nierówność oraz wektory pochodnych cząstkowych są klasy C1

3 Regularność powierzchni kuliWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Regularność powierzchni kuli W przypadku sfery opisanej równaniem otrzymujemy następującą nierówność Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale otwartym oraz

4 Regularność powierzchni elipsoidyWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Regularność powierzchni elipsoidy W przypadku elipsoidy opisanej równaniem Otrzymujemy następującą nierówność Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale otwartym oraz

5 Odwzorowanie powierzchni w powierzchnięWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię Mamy dane dwie powierzchnie regularne o następujących równaniach wektorowych: Powierzchnia I: Powierzchnia II: gdzie X,Y,Z - współrzędne prostokątne na powierzchni I, x,y,z - współrzędne prostokątne na powierzchni II, U,V – parametry na powierzchni I, u,v – parametry na powierzchni II.

6 Odwzorowanie powierzchni w powierzchnięWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię Wprowadzimy również zależność funkcyjną pomiędzy parametrami u,v powierzchni II i parametrami U,V powierzchni I o następującej postaci: Funkcje te przyporządkowują punktom jednej powierzchni punkty drugiej powierzchni. Takie przyporządkowanie nazywa się odwzorowaniem powierzchni w powierzchnię, a funkcje powyższe funkcjami odwzorowawczymi. Powierzchnię I nazywa się powierzchnią oryginału, a powierzchnię II powierzchnią obrazu w odwzorowaniu.

7 Odwzorowanie regularneWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie regularne Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu regularnym są: jedno-jednoznaczne to znaczy, że każdej parze wartości U,V odpowiada jedna i tylko jedna para wartości u,v, ciągłe i dwukrotnie różniczkowalne wzajemnie niezależne, oznacza to, że Jakobian jest różny od zera dla wszystkich par wartości U,V. Równoważny warunek ma postać:

8 Odwzorowanie kartograficzneWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie kartograficzne Odwzorowanie kartograficzne jest odwzorowaniem regularnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej lub kuli w płaszczyznę.

9 Odwzorowanie kartograficzne powierzchni kuli w płaszczyznęWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie kartograficzne powierzchni kuli w płaszczyznę Równanie powierzchni kuli: Równanie obrazu powierzchni kuli w płaszczyźnie: Warunek regularności odwzorowania

10 Odwzorowanie kartograficzne powierzchni elipsoidy w płaszczyznęWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie kartograficzne powierzchni elipsoidy w płaszczyznę Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej: Równanie obrazu powierzchni elipsoidy w płaszczyźnie: Warunek regularności odwzorowania

11 Przykład. Badanie regularności odwzorowaniaWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Przykład. Badanie regularności odwzorowania Dane jest odwzorowanie powierzchni kuli w płaszczyznę Sprawdzić dla jakich wartości parametrów  i  odwzorowanie jest regularne. Rozwiązanie Rozwiązujemy pierwszą nierówność Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale oraz

12 Przykład. Badanie regularności odwzorowaniaWykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Przykład. Badanie regularności odwzorowania Rozwiązujemy drugą nierówność Pochodne mają postać: Nierówność przyjmuje postać: Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale Odwzorowanie jest regularne gdy