1 Wykład 2 Pole skalarne i wektoroweFunkcja wielu zmiennych Pochodna cząstkowa. Gradient Dywergencja Rotacja

2 Funkcja jednej zmiennejZmienna niezależna Zmienna zależna

3 Funkcja jednej zmiennejWykres y=f(t) jest krzywą płaską

4 Funkcja wielu zmiennychZmienna zależnat Zmienna niezależna

5 Funkcja wielu zmiennychWykres – powierzchnia w 3D

6 Pochodna cząstkowa Pochodna z funkcji jednej zmiennej ( względem tej zmiennej) jest gradientem funkcji; Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych to pochodna tej funkcji względem jednej ze zmiennych niezależnych;

7 Pochodna cząstkowa Inne zmienne niezależne traktujemy jako stałe;Pochodna cząstkowa jest gradientem powierzchni w kierunku danym przez tę zmienną, względem której liczono pochodną: pochodna cząstkowa względem x

8 Przykład Pochodna cząstkowa funkcji:względem x (traktujemy y jako stałą): względem y (traktujemy x jako stałą):

9 Pole skalarne i wektorowePole skalarne opisuje funkcja skalarna wielu zmiennych ( np. ciśnienie, temperatura) Pole wektorowe – funkcja wektorowa wielu zmiennych (np.prąd powietrza, ciepła, pole magnetyczne).

10 Pole skalarne i wektorowenp.

11 Pole skalarne i wektorowePole wektorowe (2D) : np.

12 Pole wektorowe Przepływ wody wokół podpory mostu

13 Pole skalarne Głębokość wody w Auckland Harbour

14 Pole wektorowe Prądy wodne w Waitemata Harbour

15 Operator Gradientu Rozważmy funkcję skalarną f = f (x, y, z).Jak policzyć jak szybko f zmienia się wzdłuż pewnej krzywej C opisanej równaniem: s jest długością mierzoną wzdłuż C; chcemy policzyć pochodną f względem s aby stwierdzić jak szybko zmienia się ona względem C. Niech w jest równa wartości f na krzywej C:

16 Operator Gradientu krzywa C t Kontury f (x, y, z) = constant

17 Operator Gradientu Aby obliczyć jak f zmienia się wzdłuż C liczymy pochodną: Prawa strona może być też zapisana tak:

18 Operator Gradientu Czyli:gdzie t jest jednostkowym wektorem stycznym do s:

19 Operator Gradientu Operator gradientu : lub:

20 Przykład Oblicz gradient funkcji: Gradient :

21 Operator gradientu grad f tworzy pole wektorowe z pola skalarnego fAby zinterpretować grad f piszemy: q jest kątem między wektorem stycznym t i wektorem grad f . Ta pochodna jest największa gdy q = 0 i cosq = 1. grad f jest wektorem, który jest równy maksimum szybkości zmian f i wskazuje kierunek maksimum szybkości zmian.

22 Powierzchnie w 3D Wektor gradientu w punkcie P jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P. Tak więc wektor normalnej n do powierzchni w punkcie P: C t n P

23 Operator dywergencji Prędkość cieczy lub gazu może reprezentować wektor pola, tzn. Dywergencja jest miarą źródłowości pola.

24 Operator dywergencji Rozważmy skalar:Jeśli v > 0 ciecz wypływa ze źródła Jeśli v < 0 ciecz wpływa do pewnego punktu

25 Operator dywergencji Operator dywergencji (div) daje skalar jeśli działa na funkcję wektorową Operator gradientu (grad) – daje wektor jeśli działa na funkcję skalarną

26 Operator Laplace’a uwaga: div(grad f ) pisze się tak:To jest operator Laplace’a Używany jest do modelowania fal, zjawisk dyfuzji i in.

27 Operator rotacji Prędkość ruchu obrotowego(np. bryły sztywnej) można określić stosując rotację; Niech wektor prędkości punktów bryły reprezentuje wektor pola

28 Operator rotacji Operator rotacji wektora pola:

29 Operator rotacji W postaci macierzowej:

30 Przykład Oblicz rot v dla:

31 Sens fizyczny rotacji Dla płynącej cieczy, rot v oznacza, że mamy do czynienia z wirami: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu; jego kierunek określa reguła prawej dłoni; Przy obrocie bryły sztywnej wokół ustalonej osi: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż tej osi; długość rot v jest równa podwojonej prędkości kątowej.

32 Podsumowanie Gradient Dywergencja RotacjaMaksimum szybkości zmian i kierunek maksymalnej szybkości zmian pola skalarnego skalar  vektor Dywergencja Wskazuje źródło pola wektor  skalar Rotacja Określa obrót wektora pola wektor  wektor