1 Wykład 24 Ruch falowy 11.1 Fala jednowymiarowaRóżniczkowe równanie fali Fale harmoniczne Faza i prędkość fazowa. Zespolony zapis fali harmonicznej Rodzaje fal Fale płaskie Reinhard Kulessa

2 Ruch falowy 11.1 Fala jednowymiarowaPamiętamy z mechaniki, że falą nazywamy pewne zaburzenie w ośrodku sprężystym poruszające się kierunku np. x ze stałą prędkością. Zaburzenie to może zachodzić w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia, mamy wtedy do czynienia z falą podłużną, lub w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia, mówimy wtedy o fali poprzecznej. Prędkość rozchodzenia się fal zależy od gęstości i własności sprężystych ośrodka. Dla fali podłużnej w pręcie, E jest modułem sprężystości. Reinhard Kulessa

3 Geometryczny kształt czoła fali określa typy fal;Dla fali poprzecznej w pręcie,  jest modułem sztywności. Długość fali Najmniejszą odległość między drgającymi punktami znajdującymi się w tej samej fazie nazywamy długością fali. Miejsca geometryczne punktów do których doszło zaburzenie nazywamy czołem fali. Promień fali określa nam kierunek wzdłuż którego rozchodzi się zaburzenie. Geometryczny kształt czoła fali określa typy fal; Reinhard Kulessa

4 jeśli jest to sfera, mamy falę kulistąCzoło fali Promień fali jeśli jest to płaszczyzna, mamy falę płaską, jeśli jest to sfera, mamy falę kulistą Zaburzenie  będzie zależało zarówno od płożenia, jak i czasu, można go zapisać jako: . Reinhard Kulessa

5 Zobaczmy falę rozchodzącą się na linie.Dla dowolnej chwili t = const można otrzymać kształt zaburzenia. Zakładając, że mamy do czynienia z zaburzeniem nie zmieniającym kształtu wprowadzamy drugi układ współrzędnych U’ poruszający się razem z zaburzeniem z prędkością v względem układu nieruchomego U. Zobaczmy falę rozchodzącą się na linie. Reinhard Kulessa

6 Jaka w ogólnym przypadku będzie postać funkcji vt  ’ x x’=x-vt W układzie ruchomym  nie jest więcej funkcją czasu, a zależy tylko od położenia. Mamy więc: . Reinhard Kulessa

7 Symbolicznie równanie fali możemy napisać następująco:W układzie ruchomym U’ zaburzenie dla dowolnego czasu t jest takie jak w układzie nieruchomym U dla czasu t=0, w którym początki obydwu układów znajdowały się w tym samym miejscu. Współrzędne obydwu układów związane są następująco: , tak, że występujące zaburzenie można zapisać przez współrzędne układu nieruchomego U następująco: . Symbolicznie równanie fali możemy napisać następująco: . (11.1) Reinhard Kulessa

8 Równaniem fali będzie również następująca funkcja. Nie przedstawia równania fali np. następujące wyrażenie: . Najbardziej znaną postacią fal są fale sinusoidalne. Równania tych fal możemy podać np. jako: . (11.2) Reinhard Kulessa

9 Zależności występujące pomiędzy wielkościami charakteryzującym falę można zsumować w następującej tabelce Nazwa Długość fali Liczba falowa okres Częstość kołowa prędkość symbol  k T   v definicja 2/  = k 1/T =   =  Zależności kinematyczne  = v T   = v /k = v Równoważne Zapisy Równania Reinhard Kulessa

10 11.3 Różniczkowe równanie faliRóżniczkowe równanie fali wyprowadzimy w oparciu o II zasadę dynamiki Newtona zastosowaną do małego elementu drgającej struny. Poczyńmy następujące założenia: Napięcie T jest stałe również w czasie gdy zaburzenie przechodzi przez rozważany element strugi, Zaniedbujemy ciężar W elementu struny, czyli wymagamy, że przyczyną dynamiki x x+x T W (x,t)  jest napięcie struny, a nie grawitacja, 3. Kąt  jest mały Reinhard Kulessa

11 Wielkość sił napinających jest taka sama z obu stron elementu struny, lecz przeciwnie skierowana.x x+x Tp(x) Tp(x+x)   Wypadkowa pionowa siła napinająca strunę Tp(x+x)-Tp(x) nadaje segmentowi pionowe przyśpieszenie zgodnie z II zasada dynamiki Newtona. Jeżeli struna ma masę M i długość L, to masa struny na jednostkę długości wynosi M/L. Rozważany segment ma więc masę M/L · x. Reinhard Kulessa

12 Pionowe przyśpieszenie uzyskane przez strunę oznaczamy jako;. Drugie prawo Newtona zapisujemy w postaci: . Zmniejszając przedział x do zera możemy napisać; . Zakładając, że kąt  jest mały możemy napisać; . Reinhard Kulessa

13 Doprowadzamy więc nasze równanie do następującej postaci;. Wyrażenie T L/M ma wymiar kwadratu prędkości. Na początku tego rozdziału podaliśmy wyrażenia na prędkości fal poprzecznych i podłużnych. T L/M możemy przekształcić do postaci: , gdzie  jest naciągiem struny, a  gęstością materiału struny. Reinhard Kulessa

14 Różniczkowe równanie fali ma więc postać:. (11.3) Jako ciekawostkę omówmy dwa przypadki fal na wodzie. 1. Głębokość h <<  -czyli płytka woda, wtedy 2. Głębokość h >>  -czyli głęboka woda, wtedy , gdzie  jest napięciem powierzchniowym wody. Reinhard Kulessa

15 Dla prędkości fal na głębokiej wodzie istnieje minimalna prędkośćDla prędkości fal na głębokiej wodzie istnieje minimalna prędkość. Można ją znaleźć z podanego wzoru. . Podstawiając równanie na długość fali do odpowiedniego wzoru na prędkość, otrzymujemy; . Reinhard Kulessa

16 gdzie k jest stałą dodatnią.Fale harmoniczne Do tej pory nadaliśmy funkcji falowej (x; t) jedynie postać funkcji sinusoidalnych. Funkcja, która będzie rozwiązaniem różniczkowego równania fali będzie miała postać: , gdzie k jest stałą dodatnią. Ustalenie położenia lub czasu prowadzi do sinusoidalnego zaburzenia  . Fala jest periodyczna zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Odległość po której powtarza się (okres) zaburzenie przestrzenne nazywamy jak już powiedzieliśmy długością fali i oznaczamy przez . Zmiana położenia o długość fali nie zmienia zaburzenia  . Mamy więc: . Reinhard Kulessa

17 gdyż zarówno k jak i  są dodatnie.W rozważanym przypadku oznacza to zmianę argumentu funkcji sinus o ±2. Mamy więc: . Wynika stąd, że , oraz , gdyż zarówno k jak i  są dodatnie. W sposób analogiczny możemy zbadać periodyczność funkcji ze względu na czas, czyli wyznaczyć okres fali T. Jest to czas, w którym fala o długości  przebiega obok nieruchomego obserwatora. Ponieważ chodzi nam o zależność czasową, możemy napisać: Reinhard Kulessa

18 Wiedząc, że wszystkie powyższe wielkości są dodatnie, otrzymujemyczyli, . Wynika stąd, że . Wiedząc, że wszystkie powyższe wielkości są dodatnie, otrzymujemy . Odwrotnością okresu T jest jak wiadomo częstość ; Dla fali definiujemy jeszcze częstość kątową  i częstość przestrzenną . Przy czym, Reinhard Kulessa

19 Rozpatrzmy dowolną funkcję harmoniczną:Zdefiniowane wielkości charakteryzujące fale harmoniczne dotyczą również fal nieharmonicznych, jak długo przedstawiają one pewne periodyczne zaburzenia. Faza i prędkość fazowa. Rozpatrzmy dowolną funkcję harmoniczną: Cały argument funkcji sinus nazywamy fazą (kątem fazowym ) , tak, że . Reinhard Kulessa

20 Faza (kąt fazowy) powyższego zaburzenia można podać w W tym zapisie dla kąta fazowego  = 0 ( czyli dla t=0, x=0) wartość zaburzenia jest też równa zero. Tak nie zawsze musi być, dlatego wprowadza się fazę początkową  tak, że ogólna postać równania przyjmuje postać: . Faza (kąt fazowy) powyższego zaburzenia można podać w następującej postaci: . Faza ta jest funkcją położenia i czasu. Zmianę fazy w czasie przy stałym położeniu definiuje prędkość kątową . . Reinhard Kulessa

21 Z kolei zmiana fazy w funkcji położenia dla ustalonego czasu prowadzi do równania; . W oparciu o własności pochodnych cząstkowych możemy napisać; Lewa strona tego równania przedstawia prędkość rozprzestrzeniania się zaburzenia dla stałej fazy. Uwzględniając poprzednie równania otrzymujemy; Reinhard Kulessa

22 11.4 Zespolony zapis fali harmonicznej Powyższy wzór definiuje prędkość z którą porusza się zaburzenie. Jest to tzw. prędkość fazowa. Zespolony zapis fali harmonicznej Falę harmoniczną możemy napisać w postaci: , czyli, . Rodzaje fal Zapoznajmy się z różnymi rodzajami fal z którymi możemy mieć do czynienia. Ze względu na kierunek rozchodzenia się zaburzenia w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali możemy mieć fale poprzeczne i podłużne. Reinhard Kulessa

23 Ze względu na kształt czoła fali możemy mieć fale płaskie i kuliste.Ze względu na charakter zaburzenia fale mogą być skalarne (np. fala dźwiękowa w powietrzu) lub wektorowe (np. fala świetlna). Możemy mieć również fale spolaryzowane (zaburzenie zachowuje stały kierunek) Omówmy dokładniej fale płaskie i kuliste. Fale płaskie Oczywistym jest, że fale rozchodzą się w przestrzeni we wszystkich trzech kierunkach. Fala płaska jest najprostszym przykładem fali trójwymiarowej. Miejsce geometryczne punktów o tej samej fazie tworzy płaszczyznę. Płaszczyzny Reinhard Kulessa

24 Takie istnieją dla każdej fazy dając w efekcie ciąg płaszczyzn będących zwykle prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Oznaczymy kierunek rozchodzenia się fali przez wektor k o współrzędnych (kx, ky, kz). Załóżmy również, że wspomniana płaszczyzna przechodzi przez punkt o współrzędnych (x0, y0, z0). Reinhard Kulessa

25 umieszcza wektor r – r0 na płaszczyźnie prostopadłej do wektora Jeśli wektor wodzący r określa dowolny punkt w przestrzeni, to wyrażenie; umieszcza wektor r – r0 na płaszczyźnie prostopadłej do wektora k, przy czym współrzędne końca wektora r – r0 ; (x, y, z) przyjmują wszystkie dozwolone wartości. Przyjmując, że k  (kx,ky, kz) otrzymujemy w oparciu o poprzednie równanie; , lub . Wyrażenie Reinhard Kulessa

26 Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunekjest najprostszym równaniem płaszczyzny prostopadłej do k. Płaszczyzna ta jest zbiorem wszystkich punktów, których rzut na kierunek k jest wielkością stałą. Możemy teraz skonstruować szereg płaszczyzn, dla których warto (r) w przestrzeni zmienia się periodycznie. Mianowicie  = 0  = - A lub bardziej ogólnie; . Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunek Reinhard Kulessa

27 (r) przyjmuje wartość stałą. Dla fal harmonicznych wartości  powinny powtórzyć się w przestrzeni po przesunięciu o  w kierunku k. Przedstawia to ostatni rysunek. Rysunek poprzedni przedstawia tylko niektóre z nieskończonej liczby płaszczyzn. Przestrzenną powtarzalność harmonicznego zaburzenia, możemy przedstawić następująco; , Gdzie ko jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora falowego. W układzie kartezjańskim płaska fala harmoniczna ma następująca postać; . Reinhard Kulessa

28 lub . Reinhard Kulessa