1 Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowychDyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna aplikacja (FFT) Przykład zastosowania Transformacja Fouriera PTS 2015

2 Dyskretny szereg FourieraWyprowadzenie DFS gdzie oraz . PTS 2015

3 Dyskretny szereg Fouriera cdPodzielmy okres T na N równych podprzedziałów: Dyskretny szereg Fouriera cd . PTS 2015

4 Dyskretny szereg Fouriera cdOznaczając: Powyższe równanie daje możliwość obliczenia próbki (dyskretnej wartości) funkcji f(t) dla , . PTS 2015

5 Dyskretny szereg Fouriera cdBiorąc pod uwagę, że dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi: i wprowadzając tzw. współczynniki aliasingowe: . PTS 2015

6 Dyskretny szereg Fouriera cdOtrzymamy równanie: PTS 2015

7 Równanie: stanowi okresowy szereg Fouriera funkcji f(t) w dyskretnych chwilach czasu, a współczynniki aliasingowe (nałożeniowe) określone są wzorem: PTS 2015

8 Dyskretny szereg Fouriera cdPrzykład Wyznaczyć dyskretny szereg Fouriera funkcji podanej na rysunku (N=4): PTS 2015

9 Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: otrzymujemyDyskretny szereg Fouriera cd Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: otrzymujemy gdzie . PTS 2015

10 Dla n=0, 1, 2, 3, mamy: Czyli ostatecznie: . PTS 2015

11 Dyskretna Transformata FourieraDEFINICJA Dany jest ciąg o N liczbach rzeczywistych lub zespolonych. Dyskretną transformatą Fouriera ciągu jest ciąg o N liczbach  określony równaniem PTS 2015

12 Transformata odwrotna:UWAGA: Ciąg nie musi być okresowy a jego elementy mogą być liczbami zespolonymi PTS 2015

13 Przykład obliczania DFTDany jest ciąg wyznaczyć jego transformatę DFT PTS 2015

14 Z wzoru definicyjnego :dla N=4 PTS 2015

15 Skąd ostatecznie Spektrum amplitudowe PTS 2015

16 Spektrum fazowe PTS 2015

17 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT)PTS 2015

18 Szkic uzasadnienia PTS 2015

19 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (2) PrzesunięciePTS 2015

20 Uzasadnienie prawdziwości właściwości transformaty DFT PrzesunięciePTS 2015

21 Cd uzasadnienia: PTS 2015

22 Przykład (przesunięcie)PTS 2015

23 Przykład (przesunięcie) cdPTS 2015

24 Przykład (przesunięcie) cdPTS 2015

25 Przykład (przesunięcie) cdPTS 2015

26 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (3) Splot okresowyPTS 2015

27 Przykład 1 PTS 2015

28 Przykład 1 (cd) odbicie PTS 2015

29 Przykład 1 (cd) PTS 2015

30 Dla analogicznie PTS 2015

31 Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (4)PTS 2015

32 Szkic dowodu PTS 2015

33 Przykład 2 PTS 2015

34 Obliczenia transformaty pierwszego sygnałuPTS 2015

35 Obliczenia transformaty drugiego sygnałuPTS 2015

36 Obliczenia transformaty drugiego sygnałuPTS 2015

37 Sprawdzenie metodą klasycznąPTS 2015

38 Porównanie DFS i DFT PTS 2015

39 Porównanie DFS i DFT (2) PTS 2015

40 PTS 2015

41 Algorytm FFT  wstęp Stosując wzór: “koszt” znalezieniadla ustalonej wartości n, wynosi: mnożeń sumowań. PTS 2015

42 Dla n od 0 do N-1 potrzeba (N-1)2 mnożeń i N(N-1) dodawańCzyli przykładowo, dla N=212 potrzeba mnożeń Proponowana w tej części wykładu “szybka” procedura zwana FFT (STF) zapewnia redukcję mnożeń z poprzedniego przykładu do 24576. PTS 2015

43 Szkic algorytmu DFT ciągu 2-elementowego gdzie . PTS 2015

44 Graf sygnałowy (motylkowy). W tej transformacie wymagane jest jedynie jedno mnożenie: przez PTS 2015

45 Przypadek N=4 . PTS 2015

46 Przypadek N=4 Wyprowadzenie . PTS 2015

47 Podane podejście uogólnić można na N-punktowy algorytm pozwalający na znaczne przyspieszenie obliczeń. Dla użycie FFT daje 223 razy mniej mnożeń niż standardowe DFT .  Niestety, algorytm wymaga określonej liczby próbek funkcji dyskretnej  2n PTS 2015

48 Zastosowanie DFT (FFT)Wyznaczanie widma okresowych funkcji analogowych PTS 2015

49 Przykład DFT i wyznaczyć 8-punktową DFTChcemy spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: 135o i wyznaczyć 8-punktową DFT PTS 2015

50 ms PTS 2015

51 Przykład DFT cd Liczba próbek N=8Szybkość próbkowania: Liczba próbek N=8 8-elementowy ciąg x(n) jest równy xin(nts): PTS 2015

52 Przykład DFT cd Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości, w których wyznaczane są prążki DFT (widmo a-f transformaty), są określane jako: Czyli dla wybranej częstotliwości fs= 8000 próbek/s wyniki DFT określają składowe sygnału x(n) w punktach osi częstotliwości: PTS 2015

53 Rezultaty DFT dla N=8: PTS 2015

54 Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)PTS 2015

55 Widmo fazowe x(n) PTS 2015

56 Wnioski dla DFT funkcji x(n) przy całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek.Aby otrzymać widmo amplitudowe funkcji xin(n) z widma transformaty DFT należy uwzględnić, że: Wartości DFT dla m>=N/2 są nadmiarowe (uwzględniamy m=0,1,2,3,4) Widmo fazowe podlega twierdzeniu o przesunięciu (w naszym przypadku nie trzeba go stosować) PTS 2015

57 ms PTS 2015

58 widmo przebiegu x(n) ze składową stałąPTS 2015

59 Co to jest „przeciek widma”?Chcemy ponownie spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: i wyznaczyć 8-punktową DFT przy szybkości próbkowania i N=8: PTS 2015

60 PTS 2015

61 Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n)PTS 2015

62 Widmo fazowe okresowego przebiegu x(n)PTS 2015

63 Co to jest “przeciek” DFTDFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące =>jedynie kiedy próbkowany przedział (N próbek) stanowi wielokrotność okresu badanego przebiegu nie ma problemu Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej (np.1.5fs/N) to ta składowa sygnału ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT PTS 2015

64 Podstawy transformacji FourieraSygnał x(t) PTS 2015

65 W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z Ponieważ x(t) nie jest sygnałem okresowym, nie może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Jednakże, metoda szeregu Fouriera może być zastosowana do przedstawienia x(t) w dowolnym przedziale: W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z dla każdego t należącego do PTS 2015

66 gdzie PTS 2015

67 Oznaczmy: otrzymamy PTS 2015

68 Dla PTS 2015

69 Wyznaczamy ze wzoru: PTS 2015

70 stanowią parę przekształceń Fouriera.Równania: stanowią parę przekształceń Fouriera. to transformata Fourier funkcji czasu jest odwrotną transformatą Fouriera nazywana jest całką Fouriera PTS 2015

71 Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Fourieramusi być bezwzględnie całkowalna W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów ekstremalnych. W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym z tych punktów owe nieciągłości mają wartości skończone. PTS 2015

72 PTS 2015

73 Przykład Przykładowy impuls prostokątny PTS 2015

74 PTS 2015

75 PTS 2015

76 Wyjaśnienie istoty transformacji Fouriera:PTS 2015

77 Transformata Fouriera pojedynczego impulsu prostokątnegoWniosek: Moduł stanowi obwiednię dla PTS 2015

78 Moduł stanowi obwiednię dla PTS 2015

79 PTS 2015

80 PTS 2015

81 PTS 2015

82 W konsekwencji, dyskretne widmo łąńcucha impulsów prostokątnych staje się ciągłym widmem określonym obwiednią czyli Współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera spełniają zależność Podczas gdy transformata Fouriera poj. prostokąta wyraża się zależnością Ciągłe widmo amplitudowe, ciągłe widmo fazowe, nieokresowego sygnału x(t) PTS 2015

83 Niektóre właściwości przekształcenia FourieraLiniowość Transformata sumy: Jest postaci: Skalowanie PTS 2015

84 Widmo amplitudowe jest parzyste a fazowe nieparzyste:Przesunięcie w dziedzinie czasu Jeśli: to Wniosek: WIDMO AMPLITUDOWE NIE ULEGA ZMIANIE natomiast fazowe jest przesunięte o PTS 2015

85 Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości:Transformata pochodnej: Splot Twierdzenie o splocie PTS 2015

86 Przykład PTS 2015

87 To samo graficznie: PTS 2015

88 Transformaty Fouriera wybranych sygnałów:impuls jednostkowy (Diraca) . impuls przesunięty: PTS 2015

89 Czyli lub PTS 2015

90 Transformata Fouriera funkcjiPonieważ: PTS 2015

91 Transformata Fouriera funkcji cosinusPTS 2015

92 Transformata Fouriera funkcjiPonieważ: PTS 2015

93 Transformata Fouriera funkcji sinusPTS 2015

94 Szybka transformacja Fouriera (FFT) uzasadnienie schematuPTS 2015

95 DFT dwupunktowa PTS 2015

96 Graficzna interpretacjaPTS 2015

97 (e) (f) (g) (h) PTS 2015

98 Uwzględniając relacje (i):Przedstawiamy współczynniki DFT w funkcji w2 oraz w4 PTS 2015

99 (j) (k) (l) (m) PTS 2015

100 (n) (o) PTS 2015

101 (p) (r) (s) (t) PTS 2015

102 (u) (v) (w) (x) PTS 2015

103 Graf motylkowy dla N=4 PTS 2015

104 N=8 PTS 2015

105 (a) (b) (c) (d) PTS 2015