1 WYKŁAD 5 OPTYKA FALOWA OSCYLACJE I FALE

2 Oscylacje (drgania) harmonicznePLAN WYKŁADU Oscylacje (drgania) harmoniczne Fale płaskie Równanie falowe Odbicie fal Fale kuliste Fale walcowe PODSUMOWANIE

3 Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznychdrganie liniowe punktu materialnego

4 Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznychdrganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p

5 Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznychdrganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego

6 Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznychdrganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego oscylacja harmoniczna wielkości wektorowej

7 Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznychdrganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego oscylacja harmoniczna wielkości wektorowej amplituda, częstość kątowa, faza – argument funkcji cos, faza początkowa

8 RÓWNOŚĆ EULERA gdzie

9 RÓWNOŚĆ EULERA gdzie

10 RÓWNOŚĆ EULERA gdzie

11 Składanie oscylacji

12 Składanie oscylacji w zapisie zespolonym

13 Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

14 Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

15 Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

16 Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

17 Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

18 Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

19

20

21

22

23 krzywa stożkowa, elipsa

24

25

26

27 elipsa wpisana w równoległobok zbudowany na wektorach A i B, A i B - osie sprzężone elipsy

28 OSCYLACJE A FALE

29 Jednowymiarowe fale bieżąceprofil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

30 Jednowymiarowe fale bieżąceprofil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

31 Jednowymiarowe fale bieżąceprofil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

32 Jednowymiarowe fale bieżąceprofil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

33 Jednowymiarowe fale bieżąceprofil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v - profil zaburzenia

34 Jednowymiarowe fale bieżącefala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x

35 Jednowymiarowe fale bieżącefala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx

36 Jednowymiarowe fale bieżącefala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx

37 Jednowymiarowe fale bieżącefala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx

38 Jednowymiarowe fale bieżąceZmiany w czasie i przestrzeni zaburzenia wielkości fizycznej ψ, rozchodzącego się z prędkością v w kierunku +x („odwrócony” profil)

39 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

40 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne , pewna długość charakterystyczna

41 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

42 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

43 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

44 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

45 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

46 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

47 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

48 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

49 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

50 Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

51 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejuogólnienie postaci fazy

52 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejuogólnienie postaci fazy narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t

53 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejuogólnienie postaci fazy narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t

54 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejuogólnienie postaci fazy narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t płaszczyzna stałej fazy Równanie – zbiór rozwiązań to będzie zbiór punktów…

55 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej

56 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejrównanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego

57 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejrównanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego odległość p-zny od początku układu współrz.

58 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejrównanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego odległość p-zny od początku układu współrz.

59 Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowejrównanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego odległość p-zny od początku układu współrz. p-zna oddala się od początku układu współrz.

60 Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej

61 Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowejargument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej:

62 Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowejargument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej: dla mamy jak poprzednio

63 RÓWNANIE FALOWE Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej:

64 Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:RÓWNANIE FALOWE Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej: Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:

65 Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:RÓWNANIE FALOWE Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej: Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:

66 Ogólne rozwiązanie równania falowego

67 Ogólne rozwiązanie równania falowego

68 Ogólne rozwiązanie równania falowego

69 Zasada superpozycji Jeśli dwie funkcje:są rozwiązaniami równania falowego, to jest nim także dowolna kombinacja liniowa tych funkcji:

70 ODBICIE FAL na granicy dwóch ośrodkówFala padająca f(x+vt), fala odbita g(x-vt)

71 i „sztywnej” ściany „wychylenie” równe jest zeroPonieważ dla mamy zatem

72 co pozwala znaleźć profil fali odbitej dla dowolnego x i tco oznacza, że: czyli: co pozwala znaleźć profil fali odbitej dla dowolnego x i t

73 możemy zatem wprowadzić fale „wirtualne” w obszarze „ściany”możemy zatem wprowadzić fale „wirtualne” w obszarze „ściany”. Fale te stają się „rzeczywiste” gdy występują w obszarze „przed ścianą”

74 FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych

75 Argument funkcji profilu:FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych Argument funkcji profilu: czyli:

76 Argument funkcji profilu:FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych Argument funkcji profilu: czyli: a nie:

77 Argument funkcji profilu:FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych Argument funkcji profilu: czyli: a nie: czy też:

78 Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe:FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe:

79 FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe:oraz czy jej argument będzie postaci:

80 FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe:oraz czy jej argument będzie postaci: Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:

81 FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe:oraz czy jej argument będzie postaci: Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:

82 Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:

83 Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:co jest równoważne:

84 Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:co jest równoważne: gdyż:

85 Zatem równanie falowe:będzie spełnione gdy:

86 Zatem równanie falowe:będzie spełnione gdy: czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej:

87 Zatem równanie falowe:będzie spełnione gdy: czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej: A to równanie będzie spełnione gdy:

88 czyli gdy:

89 czyli gdy: Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą.

90 czyli gdy: Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą. W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem:

91 czyli gdy: Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą. W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem: lub:

92 FALE WALCOWE oś z jest osią walcagdzie

93 FALE WALCOWE oś z jest osią walcagdzie

94 FALE WALCOWE oś z jest osią walcagdzie

95 Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:

96 Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:

97 Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:no i jest tak rzeczywiście gdy pominiemy wyraz z r2.

98 Równanie falowe będzie spełnione gdy:

99 Równanie falowe będzie spełnione gdy: jednowymiarowe równanie falowe.Po przemnożeniu przez otrzymamy: jednowymiarowe równanie falowe.

100 Równanie falowe będzie spełnione gdy:Po przemnożeniu przez otrzymamy: jednowymiarowe równanie falowe. Równanie to będzie spełnione gdy:

101 Czyli gdy:

102 Dla walcowej fali harmonicznej i rozbieżnej:Czyli gdy: Dla walcowej fali harmonicznej i rozbieżnej:

103 PODSUMOWANIE Dla oscylacji i fal harmonicznych wprowadzamy zapis zespolony. Część rzeczywista przedstawia realną fizyczną oscylację lub falę, urojona nie ma znaczenia fizycznego. Reprezentacja zespolona płaskiej fali harmonicznej opisującej zmienną w czasie i przestrzeni wektorową wielkość fizyczną ma postać: jest zespoloną amplitudą, k wektorem falowym, ω częstością kątową gdzie

104 PODSUMOWANIE Wektory A i B wyznaczają równoległobok, w który wpisana jest elipsa polaryzacji, kierunek wektora wyznacza kierunek rozchodzenia się fali, a jego wartość (liczba falowa k) związana jest z długością fali. Częstość kątowa ω związana jest z okresem T. Stosunek prędkości kątowej ω i liczby falowej k odpowiada prędkości rozchodzenia się fali.

105 PODSUMOWANIE Równanie falowe dla przypadku jednowymiarowego (płaska fala rozchodząca się wzdłuż osi x) ma postać: Jedyny warunek, jaki musi spełnić funkcja ψ jest taki, by jej argument był postaci: lub

106 PODSUMOWANIE Argument funkcji opisującej trójwymiarową falę płaską opisany jest wyrażeniem: gdzie α, β, γ to cosinusy kierunkowe a v prędkość rozchodzenia się fali. Dla fali harmonicznej cosinusy kierunkowe określone są przez składowe wektora falowego i argument funkcji przyjmuje postać:

107 PODSUMOWANIE Amplituda trójwymiarowej fali płaskiej nie zależy od r, fali kulistej maleje z r a fali walcowej z pierwiastkiem z r, gdzie r jest odległością od źródła. Jednowymiarowa fala padająca na “sztywną” granicę ulega odbiciu, zmieniając znak “wychylenia”.