1 WYKŁAD 6 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ (równanie Schrődingera dla atomu wodoru, separacja zmiennych, stan podstawowy 1s, stany wzbudzone 2s i 2p, liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru, stany z wysokim n; zasada odpowiedniości Bohra)

2 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA

3 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

4 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

5 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

6 RÓWNANIE SCHRŐDINGERAU, operator ewolucji w czasie zależne od czasu równanie Schrődingera H – Hamiltonian Feynman, t. III, rozdz. 8, 16

7 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob.funkcja falowa: operator energii Dla elektronu swob. Ponieważ dla fali: mamy: Prędkość grupowa fali jest klasyczną prędkością elektronu

8 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob.funkcja falowa: Pokażemy, że jeśli przyjmiemy, że: gdzie: to:

9

10 widzimy, że operator pędu:Porównując: widzimy, że operator pędu: Dla pojedynczej cząstki w centralnym polu dojdzie energia potencjalna cząstki V(r):

11 Elektron w atomie H

12 Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!!

13 Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…

14 Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą… Przyjmijmy zatem, że:

15

16

17 ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatem

18 ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatemspełnienie równości wymaga, by obie strony były równe tej samej stałej, np. E

19 Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)

20 Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać:

21 Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać:

22 Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać: Ponieważ: E będzie energią elektronu Przypomnienie; efekt fotoelektryczny:

23 gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to elektron.Dla atomu wodoru: gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to elektron. Ponieważ masa protonu jest znacznie większa od masy elektronu, m, to w układzie współrzędnych związanych z nieruchomym protonem mamy:

24 Prowadzi to do równania Schrődingera niezależnego od czasu:gdzie: Energia potencjalna elektronu w atomie H: Energia potencjalna elektronu w jonie H-podobnym:

25 przechodzimy do współrzędnych sferycznych:Ze względu na niewygodną postać energii potencjalnej elektronu we współrzędnych kartezjańskich: przechodzimy do współrzędnych sferycznych: r – promień wodzący, θ – kąt biegunowy, Φ – kąt azymutalny Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 mamy wówczas prostą postać energii potencjalnej:

26 od wszystkich współrzędnych sferycznych.Bardziej skomplikowany będzie człon związany z energią kinetyczną. Musimy uwzględnić zależność funkcji: od wszystkich współrzędnych sferycznych. Musimy przeliczyć pochodne, np. dla x – owej: Ponieważ:

27 Dla składowych y i z, przez analogię otrzymamy:Dla funkcji radialnej, , niezależnej od współrzędnych kątowych, otrzymamy: Dla składowych y i z, przez analogię otrzymamy:

28 A po dodaniu wszystkich trzech członów:Lub w innych równoważnych postaciach:

29 A równanie Schrődingera dla wodoru dla funkcji radialnej przyjmie postać:W przypadku najbardziej ogólnym, gdy funkcja ψ zależy od wszystkich współrzędnych sferycznych:

30 Jako próbne rozwiązanie wstawimy funkcję:Równanie to będzie spełnione tylko wtedy gdy:

31 Otrzymaliśmy wyrażenia na dwie nieznane stałe:promień Bohra i energia, tzw. Rydberg. Otrzymaliśmy taką samą energię jak w modelu Bohra dla n = 1 rozkład gęstości prawdopodobieństwa n = 1, l = 0; stan 1s Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

32 co oznacza, że radialny rozkład prawdopodobieństwa:Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości pomiędzy r i r+dr od jądra dla stanu 1s wyniesie: co oznacza, że radialny rozkład prawdopodobieństwa: a maksimum tego rozkładu znajdziemy tak: podobnie jak w modelu Bohra, dla orbity n = 1

33 Funkcja falowa stanu podstawowego 1s dla wodoru i radialny rozkład gęstości prawdopodobieństwa

34 n – główna liczba kwantowa, 1, 2, 3, 4 … Rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla stanu 2s liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru n – główna liczba kwantowa, 1, 2, 3, 4 … l – orbitalna liczba kwantowa, 1, 2, 3, … n-1 m – magnetyczna liczba kwantowa, -l, -l+1, …+l Dla stanów s l = p l = d l = f l = 3 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

35 Inne rozwiązanie próbne; funkcja z „węzłem” w płaszczyźnie xy:Wyliczamy pierwszą pochodną: i drugą pochodną:

36 Analogicznie dla drugiego wyrazu (po y): Ale trzeci człon będzie inny:i druga pochodna po z:

37 Zbierając razem trzy pochodne cząstkowe:Otrzymamy równanie Schrődingera w postaci: podobnej do równania dla stanu podstawowego.

38 Spróbujemy zatem podobnego rozwiązania:Po wstawieniu do równania Schrődingera otrzymamy następujące równanie: spełnienie którego wymaga by: oraz

39 Z drugiego warunku otrzymujemy: a energia w tym stanie wyniesie:Trzy rozwiązania: odpowiadają tej samej energii

40 a gęstości prawdopodobieństwa ich kombinacji liniowych:wyglądają jak na rysunku: n =2, l = 1 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

41 Stan z wysokim n i l (n = 45, l = 44)Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla atomu wodoru w stanie n = 45 i l = 44 Zasada odpowiedniości Bohra, obraz kwantowy przechodzi w klasyczny dla dużych liczb kwantowych Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003