1 WYKŁAD 6 ODDZIAŁYWANIE ŚWIATŁA Z MATERIĄ

2 PLAN WYKŁADU  Pola elektryczne i magnetyczne w próżni i ośrodkach materialnych - równania Maxwella  Energia i moc w polu elektromagnetycznym  Fale elektromagnetyczne w próżni  Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych; zespolony współczynnik załamania  PODSUMOWANIE

3 Pola elektryczne i magnetyczne w próżni i ośrodkach materialnych - równania Maxwella Klasyczna teoria elektromagnetyzmu: natężenie pola elektrycznego indukcja magnetyczna ładunek elektryczny siła Lorentza gęstość prądu elektrycznego

4 Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI

5 Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI

6 Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI

7 Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI

8 Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI gęstości ładunku i prądu, źródła pól. Co w próżni? Co w ośrodkach materialnych?

9 równanie ciągłości

10

11

12

13 Ładunki i prądy polaryzacyjne w ośrodkach materialnych Model Lorentza atomu, ładunek dodatni (ciężkie jądro) i ujemny (lekkie elektrony), q niekoniecznie równe +Ze, elektrony silnie i słabo związane

14

15 wektor polaryzacji, wyindukowany przez pole zewnętrzne moment dipolowy na jednostkę objętości

16 ładunek przesunięty przez jednostkową powierzchnię zależy od P i cosinusa kąta pomiędzy N i P

17 wektor polaryzacji, wyindukowany przez pole zewnętrzne moment dipolowy na jednostkę objętości ładunek przesunięty przez jednostkową powierzchnię zależy od P i cosinusa kąta pomiędzy N i P Zamiast δ musimy wstawić δcosα

18

19 wstawiamy minus bo polaryzacja „wypycha” ładunek dodatni z objętości V stosujemy twierdzenie Gaussa

20 wstawiamy minus bo polaryzacja „wypycha” ładunek dodatni z objętości V stosujemy twierdzenie Gaussa

21 wstawiamy minus bo polaryzacja „wypycha” ładunek dodatni z objętości V stosujemy twierdzenie Gaussa

22 w 1-szym równaniu Maxwella całkowity ładunek dzielimy na „swobodny” i „polaryzacyjny”

23 podstawiając za gęstość ładunku polaryzacyjnego wyrażenie z P otrzymamy:

24 w 1-szym równaniu Maxwella całkowity ładunek dzielimy na „swobodny” i „polaryzacyjny” podstawiając za gęstość ładunku polaryzacyjnego wyrażenie z P otrzymamy: Jeśli wprowadzimy nowy wektor:

25 otrzymamy nową wersję I-ego równania Maxwella z wektorem indukcji elektrycznej

26 By rozwiązać to równanie musimy uwzględnić zależność P od E. W najprostszym wypadku możemy przyjąć: gdziejest podatnością elektryczną ośrodka mat.

27 otrzymamy nową wersję I-ego równania Maxwella z wektorem indukcji elektrycznej By rozwiązać to równanie musimy uwzględnić zależność P od E. W najprostszym wypadku możemy przyjąć: gdziejest podatnością elektryczną ośrodka mat. Mamy wówczas: gdzie stała ε r to stała dielektryczna, a ε przenikalność elektryczna ośrodka materialnego

28 CO Z PRĄDAMI? DIELEKTRYKI

29 CO Z PRĄDAMI? Z równania ciągłości: DIELEKTRYKI

30 CO Z PRĄDAMI? Korzystając z: Z równania ciągłości: DIELEKTRYKI

31 CO Z PRĄDAMI? Korzystając z: Z równania ciągłości: Otrzymamy: DIELEKTRYKI

32 CO Z PRĄDAMI? Korzystając z: Z równania ciągłości: Otrzymamy: DIELEKTRYKI

33 CO Z PRĄDAMI? MATERIAŁY MAGNETYCZNE

34 CO Z PRĄDAMI? MATERIAŁY MAGNETYCZNE namagnesowanie a momenty magnetyczne atomów

35 CO Z PRĄDAMI? Można pokazać, że: MATERIAŁY MAGNETYCZNE namagnesowanie a momenty magnetyczne atomów Feynman, tom II, cz. 2, podrozdz. 36.1

36 CO Z PRĄDAMI? Można pokazać, że: Całkowity prąd: MATERIAŁY MAGNETYCZNE namagnesowanie a momenty magnetyczne atomów Feynman, tom II, cz. 2, podrozdz. 36.1

37 Uwzględniamy wszystkie prądy

38 i otrzymujemy:

39 Uwzględniamy wszystkie prądy i otrzymujemy:

40 Uwzględniamy wszystkie prądy i otrzymujemy:

41 Ostatecznie:

42 Wprowadzamy nowe pole (natężenie pola magnetycznego):

43 Ostatecznie: Wprowadzamy nowe pole (natężenie pola magnetycznego): i otrzymujemy 4-te równanie Maxwella: [H] = A/m, inne definicje H: Feynman, t.II, cz.2, podrozdz. 36.2

44 Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka

45 Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka Wykorzystując: i wprowadzając nową stałą: nazywaną przenikalnością magnetyczną próżni,

46 Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka Wykorzystując: i wprowadzając nową stałą: nazywaną przenikalnością magnetyczną próżni, mamy:

47 Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka Wykorzystując: i wprowadzając nową stałą: nazywaną przenikalnością magnetyczną próżni, mamy: gdzie: to przenikalność magnetyczna ośrodka a to względna przenikalność mag. ośrodka

48 DYGRESJA; wyznaczanie stałej c

49

50

51

52

53 Mierząc te siły możemy wyznaczyć wartość c:

54 DYGRESJA; wyznaczanie stałej c obecnie przyjmujemy

55 DYGRESJA; wyznaczanie stałej c obecnie przyjmujemy z eksperymentu

56 DYGRESJA; wyznaczanie stałej c obecnie przyjmujemy z eksperymentu Pomiar μ 0 i ε 0 : 1856 W. Weber i R. Kohlrausch, Lipsk

57 RÓWNANIA MAXWELLA w ośrodkach materialnych

58

59

60 plus równania materiałowe: przenikalności elektryczne i magnetyczne próżni, skalary ośrodka materialnego – mogą być tensorami

61 ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM

62 Moc przekazana cząstce: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM

63 Moc przekazana cząstce: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc przekazana układowi cząstek:

64 Moc przekazana cząstce: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc przekazana układowi cząstek: Moc przekazana ciągłemu rozkładowi ładunku:

65 Moc przekazana cząstce: W polu elektrycznym i magnetycznym: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc przekazana układowi cząstek: Moc przekazana ciągłemu rozkładowi ładunku:

66 Ponieważ:i

67 i oraz: i

68 Mamy: Ponieważ:i oraz: i

69 Z 2-iego i 4-tego równania Maxwella, po przemnożeniu:

70 Wykorzystamy następujące związki:

71 Otrzymujemy:

72 Uwzględniając twierdzenie Gaussa:

73 Otrzymujemy: Uwzględniając twierdzenie Gaussa: otrzymamy:

74 BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M

75 moc chwilowa tracona przez pole e-m na rzecz układu ładunków BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M

76 moc chwilowa tracona przez pole e-m na rzecz układu ładunków wektor Poyntinga, gęstość mocy wypływającej z układu BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M

77 moc chwilowa tracona przez pole e-m na rzecz układu ładunków wektor Poyntinga, gęstość mocy wypływającej z układu gęstość energii pola e-m BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M

78 Dla próżni: BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M

79 A dla ośrodka materialnego: BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M Energia pola w próżni plus energia na polaryzację i namagnesowanie

80 Fale elektromagnetyczne w próżni

81

82

83

84

85 w próżni nie ma ładunków i prądów

86 Fale elektromagnetyczne w próżni w próżni nie ma ładunków i prądów weźmiemy rotację z obu stron

87 Fale elektromagnetyczne w próżni w próżni nie ma ładunków i prądów weźmiemy rotację z obu stron i wykorzystamy równanie 4-te

88 Fale elektromagnetyczne w próżni

89 wykorzystujemy następującą tożsamość:

90 Fale elektromagnetyczne w próżni wykorzystujemy następującą tożsamość: i otrzymujemy:

91 Fale elektromagnetyczne w próżni

92 ponieważ:

93 Fale elektromagnetyczne w próżni ponieważ: więc:

94 Podobnie dla pola B

95 r-nie 4, bierzemy rotację z obu stron

96 Podobnie dla pola B r-nie 4, bierzemy rotację z obu stron i wykorzystujemy równanie 2-gie

97 Podobnie dla pola B r-nie 4, bierzemy rotację z obu stron i wykorzystujemy równanie 2-te otrzymując:

98 Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych

99 Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami

100 Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami

101 Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami równania materiałowe

102 Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami PRAWO OHMA, przewodnictwo właściwe równania materiałowe

103 Szukamy rozwiązań w tej postaci:

104 z częścią czasową i przestrzenną

105 Z równania ciągłości: Szukamy rozwiązań w tej postaci: z częścią czasową i przestrzenną

106 Z równania ciągłości: Szukamy rozwiązań w tej postaci: z częścią czasową i przestrzenną po scałkowaniu:

107 Z 1-ego równania:

108 po wstawieniu:

109 i: Z 1-ego równania: po wstawieniu:

110 i: Z 1-ego równania: po wstawieniu: otrzymamy równanie:

111 i: Z 1-ego równania: po wstawieniu: otrzymamy równanie: albo podobne, tylko na część przestrzenną:

112 2-gie i 3-cie równanie dadzą: po zróżniczkowaniu po t

113 2-gie i 3-cie równanie dadzą: po zróżniczkowaniu po t a 4-te: po uwzględnieniu prawa Ohma i zróżniczkowaniu po t

114 Równania 1-sze i 3-cie (z div), dla ośrodków jednorodnych:

115 Szukamy rozwiązań w postaci fal płaskich:

116 Równania 1-sze i 3-cie (z div), dla ośrodków jednorodnych: Szukamy rozwiązań w postaci fal płaskich: ponieważ:

117 Zatem równania: sprowadzą się do: E, H prostopadłe do k

118 Zatem równania: sprowadzą się do: Podobnie dla rotacji:a więc: E, H prostopadłe do k

119 oraz:

120 Podstawiając 2-gie do 4-tego:

121 oraz: Podstawiając 2-gie do 4-tego: Korzystając z tożsamości:

122 oraz: Podstawiając 2-gie do 4-tego: Korzystając z tożsamości: oraz wykorzystując: μ = μ r μ 0 ; ε = ε r ε 0 ; ε 0 μ 0 = c 2

123 otrzymamy: Ponieważ: Mamy: gdzie

124 Równanie to będzie spełnione gdy: gdzie to zespolony współczynnik załamania Niechi mamy wówczas:

125 Stąd mamy dalej:

126 wobec tego:

127 Stąd mamy dalej: wobec tego:

128 Stąd mamy dalej: wobec tego:

129 Rozwiązanie w ośrodku materialnym:

130 i

131 i tłumiona amplituda: Rozwiązanie w ośrodku materialnym:

132 i tłumiona amplituda: Rozwiązanie w ośrodku materialnym: zmodyfikowana część przestrzenna:

133 PODSUMOWANIE  Pełny opis pól elektrycznych i magnetycznych w ośrodkach materialnych, w tym fal elektromagnetycznych rozchodzących się w takich ośrodkach, wymaga wprowadzenia czterech pól wektorowych: Pole elektryczne E i magnetyczne H wywołują w ośrodku materialnym polaryzację P (podatność elektryczna ) i namagnesowanie M (podatność magnetyczna ) tworząc pola D i B.

134 PODSUMOWANIE  Dzięki zapisowi zespolonemu różniczkowe równania Maxwella dla fal harmonicznych opisanych częstością ω i zespolonym wektorem falowym stają się równaniami algebraicznymi. Z równań tych wynika, że: gdzie:

135 PODSUMOWANIE  Rozwiązanie w postaci fali płaskiej harmonicznej ma w ośrodku materialnym tłumioną amplitudę (urojona część współczynnika załamania) i zmodyfikowaną część przestrzenną (rzeczywista część współczynnika załamania):