1 WYKŁAD 9 ODBICIE I ZAŁAMANIE ŚWIATŁA NA GRANICY DWÓCH OŚRODKÓW

2 PLAN WYKŁADU Rozwiązania równań Maxwella na granicy dwóch ośrodków; warunki graniczne Fala padająca, odbita i załamana Prawo odbicia i prawo Snella Wzory Fresnela, padanie i odbicie normalne Inne wyprowadzenie wzorów Fresnela Kąt Brewstera i całkowite wewnętrzne odbicie PODSUMOWANIE

3 Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach:

4 Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach:

5 Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach:Jak „połączyć” rozwiązania w obu ośrodkach?

6 Rozwiązania Maxwella w obu ośrodkach:Jak „połączyć” rozwiązania w obu ośrodkach? Wykorzystamy równania Maxwella w postaci całkowej dla ustalenia tzw. warunków brzegowych

7 Twierdzenie Gaussa

8 Twierdzenie Gaussa Twierdzenie Stokesa

9

10 pomijamy całkę po powierzchni bocznej

11 Otrzymujemy: pomijamy całkę po powierzchni bocznejskok pola E a gęstość powierzchniowa wyindu- kowanego ładunku

12 Z drugiego równania Maxwella:

13 Z drugiego równania Maxwella:

14 Otrzymujemy: Z drugiego równania Maxwella:pomijamy całkę liniową po krawędziach bocznych i powierzchniową pochodnej B po t (mała powierzchnia) Otrzymujemy:

15 Z trzeciego równania Maxwella:otrzymamy: (brak namagnesowania)

16 Z trzeciego równania Maxwella:otrzymamy: (brak namagnesowania) a z czwartego równania Maxwella:

17 Z trzeciego równania Maxwella:otrzymamy: (brak namagnesowania) a z czwartego równania Maxwella: po wybraniu odpowiedniej pętli dla całki liniowej, pominięciu krawędzi bocznych i zaniedbaniu całki powierzchniowej z pochodnej E po t (mała powierzchnia): czyli:

18 Warunki brzegowe dla pól elektrycznych i magnetycznych na powierzchni pomiędzy dwoma ośrodkami 1 i 2: s składowa styczna, t składowa prostopadła do powierzchni pomiędzy dwoma ośrodkami 1 i 2

19 Fala padająca, odbita i załamana na granicy dwóch ośrodkówDopuszczamy dwie fale w ośrodku 1 i jedną w ośrodku 2. Wektory falowe mają składowe x i z. Przyjmujemy, że pole E ma tylko składową y (polaryzacja prostopadła do płaszczyzny padania)

20 Fala padająca: Fala odbita: Fala załamana: Dla pól B:

21 Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków:

22 Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków:Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się.

23 warunek ten prowadzi się do równania:Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania:

24 warunek ten prowadzi się do równania:Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania:

25 warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy:Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy:

26 warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy:Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy:

27 warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy:Warunek ciągłości składowej stycznej na granicy ośrodków: Znaki plus wynikają z założenia, że po odbiciu i załamaniu kierunek pola E nie zmienia się. Dla: warunek ten prowadzi się do równania: wyłączając exp(-iωt) otrzymamy: Muszą być równe okresy oscylacji, a więc:

28 Z równości składowych x wektorów k mamy:

29 Z równości składowych x wektorów k mamy:Ponieważ: mamy:

30 Z równości składowych x wektorów k mamy:Ponieważ: mamy: czyli:

31 Z równości składowych x wektorów k mamy:Ponieważ: mamy: czyli: a ponieważ: mamy także:

32 Pierwsze rozwiązanie nie ma sensu, drugie daje prawo odbiciaZ równości składowych x wektorów k mamy: Ponieważ: mamy: czyli: a ponieważ: mamy także: czyli: lub: Pierwsze rozwiązanie nie ma sensu, drugie daje prawo odbicia

33 Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną.

34 Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną.Ponieważ: więc:

35 Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną.Ponieważ: więc: Mamy także:

36 Zajmiemy się teraz falami padającą i załamaną.Ponieważ: więc: Mamy także: Otrzymujemy: bo: PRAWO SNELLA

37 potrzebujemy drugiego równaniaWzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania

38 potrzebujemy drugiego równaniaWzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy:

39 potrzebujemy drugiego równaniaWzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy: Ponieważ: i

40 potrzebujemy drugiego równaniaWzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy: Ponieważ: i mamy:

41 Podstawiając odpowiednie wyrażenia na fale:

42 Podstawiając odpowiednie wyrażenia na fale:co, dla daje: po wykorzystaniu równości składowych x wektorów k

43 wykorzystując : Z: mamy:

44 co daje następujący układ równań:wykorzystując : Z: mamy: co daje następujący układ równań:

45 co daje następujący układ równań:wykorzystując : Z: mamy: co daje następujący układ równań: skąd, po odpowiednich manipulacjach otrzymamy:

46 Rozwiązania dla amplitud będą następujące:

47 PADANIE NORMALNE:

48 PADANIE NORMALNE:

49 PADANIE NORMALNE: a więc:

50

51

52

53

54 Rozwiązania dla amplitud, przypadek ogólny:

55 Rozwiązania dla amplitud, przypadek ogólny:Ponieważ: oraz:

56 Rozwiązania dla amplitud, przypadek ogólny:Ponieważ: oraz: a więc:

57

58 Wykorzystamy prawo Snella:

59 Wykorzystamy prawo Snella: by dla rozpatrywanej polaryzacji dostać:

60 Wykorzystamy prawo Snella:by dla rozpatrywanej polaryzacji dostać: Jak będzie dla drugiej polaryzacji? zmodyfikowane wyprowadzenie dla obu polaryzacji

61 potrzebujemy drugiego równania Ze względu na wybór polaryzacji:Wzory Fresnela (amplitudy fal odbitych i załamanych w zależności od kąta padania) potrzebujemy drugiego równania Wykorzystamy: Ponieważ: więc: Ze względu na wybór polaryzacji: E = Ey, B = (Bx,Bz)

62 wykorzystując: otrzymamy:

63 amplitudowy współczynnik odbicia amplitudowy współczynnik transmisjiponieważ: mamy:

64 Dla α → 0 także γ → 0, padanie normalne

65 Dla α → 90° γ → γ90 < 90°

66 Polaryzacja równoległa do płaszczyzny padaniaCiągłość składowej stycznej pola B i E: daje:

67 Podstawiając do pierwszego równania najpierw:otrzymamy:

68 Co daje następujące wzory na stosunki amplitud odpowiednich fal:Wykorzystanie prawa Snella: pozwala wyeliminować współczynniki załamania:

69 ZMIANA ZNAKU!!! Po „drodze” musi być zero! SKOKOWA ZMIANA FAZY!!!Dla α → 90° dla polaryzacji ┴ mieliśmy: Dla α → 90° dla polaryzacji || mamy: ZMIANA ZNAKU!!! Po „drodze” musi być zero! Ale dla α → 0° dla polaryzacji || mamy: SKOKOWA ZMIANA FAZY!!!

70 WZORY FRESNELA: dla kąt BrewsteraFala odbita jest spolaryzowana liniowo, prostopadle do płaszczyzny padania

71 CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIECo się dzieje, gdy: I gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznej określonej wzorem: ???

72 CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIECo się dzieje, gdy: I gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznej określonej wzorem: ???

73

74 Gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznejjest liczbą urojoną

75 Gdy kąt padania α jest większy od wartości krytycznejjest liczbą urojoną Rozwiązanie przyjmie postać: gdzie:

76 otrzymujemy prawo odbicia i prawo SnellaPODSUMOWANIE Ciągłość składowej stycznej pola elektrycznego narzuca równość składowych stycznych wektorów falowych fali padającej, odbitej i załamanej: oraz prowadzi do równania wiążącego amplitudy tych trzech fal dla polaryzacji prostopadłej: ze związków: otrzymujemy prawo odbicia i prawo Snella

77 dla padania normalnego (dla obu polaryzacji jednakowo):PODSUMOWANIE dla padania normalnego (dla obu polaryzacji jednakowo): i

78 współczynniki odbicia przyjmują wartości:PODSUMOWANIE Dla dowolnego kąta padania (pomiędzy 0° i 90°) amplitudy fal odbitej i załamanej dla dwóch polaryzacji przyjmują wartości: współczynniki odbicia przyjmują wartości:

79 PODSUMOWANIE dla kąta BREWSTERA α:współczynnik odbicia dla polaryzacji równoległej: i fala odbita jest spolaryzowana liniowo Jeśli dla fali padającej od strony ośrodka gęstszego, kąt padania jest większy od kąta granicznego: to fala załamana będzie silnie tłumiona a natężenie fali odbitej będzie równe natężeniu fali padającej CAŁKOWITE WEWNĘTRZNE ODBICIE