1 Wytrzymałość materiałów(WM II – wykład 1)

2 SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Wtorek: , Piątki: …………………

3 SPRAWY ORGANIZACYJNE Sprawy porządkowe: We wszystkich budynkach i pomieszczeniach obowiązuje całkowity zakaz palenia tytoniu Zabrania się wnoszenia na salę wykładową wszelkiego rodzaju urządzeń, które swoim działaniem mogłyby zakłócić przebieg zajęć. Dotyczy to m.in. uaktywnionych telefonów komórkowych W salach wykładowych zabrania się spożywania posiłków oraz picia wszelkiego rodzaju napojów W trakcie wykładu na sali obowiązuje cisza

4 SPRAWY ORGANIZACYJNE Wykład 30 godzin – zalecana obecność Ćwiczenia audytoryjne 15 godzin – obecność obowiązkowa Ćwiczenia laboratoryjne 15 godzin – obecność obowiązkowa ZALICZENIE: Zaliczenie ćwiczeń i laboratorium Egzamin: teoria + zadania – obejmuje materiał wykładów oraz ćwiczeń – warunek konieczny – zaliczone ćwiczenia i laboratorium - zwolnienie z części zadaniowej – ocena z ćwiczeń  4 (80%)

5 SPRAWY ORGANIZACYJNE Literatura podstawowa:1.Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego. Warszawa: WNT 2001. 2.Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Warszawa: WNT 1996 (t. I), 1997 (t. II). 3.Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe. Warszawa: WNT 1996. 4.Kaliński K. J.: Nadzorowanie procesów dynamicznych w układach mechanicznych. Gdańsk: Wydaw. Polit. Gdańskiej 2012. 5.Gallagher R. H.: Finite element analysis–fundamentals. New Jersey: Prentice Hall 1975. Literatura uzupełniająca: 1.Misiak J.: Mechanika techniczna. Statyka i wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa 1996. 2.Walczyk Z.: Wytrzymałość materiałów. Wyd. PG, Gdańsk t. I 2000, t. II 2001. W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

6 TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy)WYKŁAD W1: Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego - Terminologia, definicje. - Superpozycja elementarnych przypadków wytrzymałości pręta. - Zginanie wraz z rozciąganiem lub ściskaniem pręta. - Kryteria wytrzymałości pręta zginanego i rozciąganego (ściskanego). - Przykłady obliczeniowe. - Przykłady praktyczne: stalowe konstrukcje lądowe, konstrukcje lotnicze, konstrukcje oceanotechniczne.

7 Ok. 18 000 elementów metalowych, 2,5 mln nitówPRZYKŁAD 1. Wieża Eiffla, 324 m, lata budowy 1887–1889 Ok elementów metalowych, 2,5 mln nitów Gustave Eiffel (1832–1923)

8 TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy)WYKŁAD W1: Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego - Terminologia, definicje. - Superpozycja elementarnych przypadków wytrzymałości pręta. - Zginanie wraz z rozciąganiem lub ściskaniem pręta. - Kryteria wytrzymałości pręta zginanego i rozciąganego (ściskanego). - Przykłady obliczeniowe. - Przykłady praktyczne: stalowe konstrukcje lądowe, konstrukcje lotnicze, konstrukcje oceanotechniczne.

9 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoSuperpozycja elementarnych przypadków wytrzymałości pręta. - Złożony przypadek wytrzymałości pręta – w jego przekroju działają co najmniej dwie spośród sześciu możliwych składowych sił wewnętrznych. - Traktując pręt jako ciało liniowo-sprężyste, naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia wywołane siłami wewnętrznymi podlegać mogą superpozycji. - Superponować można jedynie takie same naprężenia normalne lub styczne, działające na tej samej płaszczyźnie i w tym samym kierunku. Dotyczy to również składowych stanu odkształcenia i wektora przemieszczeń. - Rozpatrywanie przypadku ogólnego (w przekroju pręta sześć składowych sił wewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ elementarna teoria skręcania jest ważna tylko dla prętów o przekroju kołowym, a wzór Żurawskiego przy ścinaniu obowiązuje jedynie dla siły poprzecznej, działającej wzdłuż osi symetrii przekroju prostokątnego lub o łagodnie zmiennej szerokości.

10 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoZginanie wraz z rozciąganiem lub ściskaniem pręta. Jako przykład mimośrodowego ściskania pręta rozważmy poniższy rysunek. Pręt obciążony jest dwoma równymi i przeciwnie zwróconymi siłami ściskającymi, o liniach działania równoległych do osi pręta. Dowolny przekrój pręta odległy o x od jego lewego końca ma główne centralne osie bezwładności y, z. S x z y F (yP, zP) r max linia obojętna x y F z S a (N = -F) F (yP, zP) Mg A(yA,zA) Mg Mgy m Mgz c max n y,z z yP zP B(yB,zB) y

11 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoDodajemy dwie równe i przeciwnie zwrócone siły o wartości F, w środku geometrycznym przekroju S, a następnie zastąpimy siły, które tworzą parę (zaznaczone kreską), wektorem momentu. Siły wewnętrzne w przekroju reprezentuje siła normalna N = -F oraz moment gnący Mg = Fa. Jest on prostopadły do odcinka łączącego punkt przyłożenia siły zewnętrznej F o współrzędnych yP, zP ze środkiem geometrycznym przekroju S i nie pokrywa się z żadną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju y lub z. Mamy więc do czynienia ze zginaniem ukośnym, czyli złożonym. Wektor momentu gnącego Mg rozkładamy na dwie składowe w kierunku osi głównych y i z:

12 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego(1) Pręt podlega jednocześnie zginaniu prostemu momentem gnącym Mgy oraz Mgz i ściskaniu siłą N. Każda z tych sił wewnętrznych wywołuje w dowolnym punkcie przekroju o współrzędnych y, z naprężenie normalne, które w wyniku superpozycji wynosi: Po uwzględnieniu sił wewnętrznych pochodzących od obciążenia F:

13 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoW trakcie odkształcenia pręta jego przekrój dokonuje obrotu wokół osi y oraz z i przemieszcza się w kierunku osi x. Ślad przecięcia się płaszczyzn przekroju po i przed odkształceniem wyznacza linię obojętną, która jest miejscem geometrycznym punktów przekroju, w których naprężenie normalne równa się zero. Równanie linii obojętnej otrzymujemy dla ( ) w celu wyznaczenia punktów przekroju: Powyższe równanie można przedstawić w postaci: gdzie: - to odcinki odcięte przez linię obojętną na osiach y i z. Położenie lini obojętnej zależy jedynie od współrzędnych yp, zp punktu przyłożenia obciążenia i promieni bezwładności iy, iz. Linia obojętna dzieli przekrój na strefę rozciąganą i ściskaną.

14 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoKryteria wytrzymałości pręta rozciąganego (ściskanego) i zginanego. (3) Naprężenia normalne są liniową funkcją odległości punktu od linii obojętnej. O wytrzymałości pręta decydują maksymalne co do wartości naprężenia rozciągające r max i ściskające c max, zgodnie z kryteriami wytrzymałości. Naprężenia te oblicza się podstawiając do wzoru współrzędne punktów najbardziej odległych od linii obojętnej (A i B). Każdej linii obojętnej stycznej do konturu przekroju pręta odpowiada określone położenie punktu przyłożenia siły: l. 0.2 Każdej linii obojętnej stycznej do konturu przekroju pręta odpowiada określone położenie punktu przyłożenia siły: 3 1 z 4 2 l. 0.4 l. 0.1 l. 0.3 y

15 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego(2) Zbiór punktów przyłożenia siły odpowiadających wszystkim liniom obojętnym stycznym do konturu przekroju pręta ogranicza obszar zwany rdzeniem przekroju. Jest to miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły, dla których naprężenia w całym przekroju mają jednakowy znak. Ma to istotne znaczenie dla materiału o dużej wytrzymałości na ściskanie i znikomej na rozciąganie. Przykład 1 Zaprojektować średnicę d pręta, z którego należy wykonać ogniwa łańcucha, obciążonego siłą F = 791,3 kN. Założyć, że naprężenia w przekrojach BB pochodzą tylko od siły normalnej, czyli pominąć występujący tam również niewielki moment gnący. Dane: a = 70 mm, dop = 140 Mpa. Obliczyć zmniejszenie się nośności łańcucha w przypadku pęknięcia na wskroś jednego z przekrojów BB. B a d F

16 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoŚrednicę d pręta należy wyliczyć z kryterium wytrzymałości pręta na rozciąganie: W przypadku pęknięcia ogniwa należy zastosować kryterium wytrzymałości pręta na rozciąganie wraz ze zginaniem: czyli

17 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoPonieważ dop jest jednakowe można przyrównać lewe strony powyższych nierówności: Zatem nośność łańcucha z pękniętym ogniwem F’ nie osiąga 5% nośności pierwotnej F.

18 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoPrzykład 3. Pręt o przekroju z przykładu 2 jest obciążony mimoosiową siłą ściskającą F przyłożoną w punkcie C o współrzędnych Obliczyć dopuszczalną wartość obciążenia F. Dane: dop = 100 MN/m2, b = 4 cm. Równanie linii obojętnej ma postać: gdzie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :08:06

19 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegoMaksymalne naprężenie rozciągające oraz ściskające panuje odpowiednio w punkcie oraz w punkcie © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :08:06

20 Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostegojest większa od Ponieważ wartość bezwzględna © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :08:06

21 Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :08:06