1 Wzory ułatwiające obliczeniaA – dowolna liczba Obliczenie średniej arytmetycznej dla liczb: 55, , ,5 59,5 61,5 (N=5)

2 Wzory ułatwiające obliczeniaObliczenie średniej arytmetycznej dla liczb: 55, , ,5 59,5 61,5 (N=5) Poprzednio:

3 Oblizenie A – dowolna liczbaObliczenie średniej arytmetycznej dla liczb: 55, , ,5 59,5 61,5 (N=5) Od każdej liczby odejmujemy A=57,5 i otrzymujemy ciąg: 55, ,5 = -2 57,5 - 57,5 = 0 58,5 - 57,5 = ? 59,5 - 57,5 = ? 61,5 - 57,5 = ?

4 Oblizenie A – dowolna liczbaObliczenie średniej arytmetycznej dla liczb: 55, , ,5 59,5 61,5 (N=5) Od każdej liczby odejmujemy A=57,5 i otrzymujemy ciąg: 55, ,5 = -2 57,5 - 57,5 = 0 58,5 - 57,5 = 1 59,5 - 57,5 = 2 61,5 - 57,5 = 4

5 Oblizenie A – dowolna liczbaObliczenie średniej arytmetycznej dla liczb: 55, , ,5 59,5 61,5 (N=5) Od każdej liczby odejmujemy A=57,5 i otrzymujemy ciąg: 55, ,5 = -2 57,5 - 57,5 = 0 58,5 - 57,5 = 1 59,5 - 57,5 = 2 61,5 - 57,5 = 4

6 Wariancja A – dowolna liczba

7 Obliczanie wariancji -2 0 1 2 4 oraz średnią 58,5 Obliczamy wariancję:Obliczenie wariancji dla liczb: 55, , ,5 59,5 61,5 (N=5) Poprzednio dla liczby A = 57,5 otrzymaliśmy różnice: oraz średnią 58,5 Obliczamy wariancję:

8 Obliczanie wariancji -2 0 1 2 4 oraz średnią 58,5 Obliczamy wariancję:Obliczenie wariancji dla liczb: 55, , ,5 59,5 61,5 (N=5) Poprzednio dla liczby A = 57,5 otrzymaliśmy różnice: oraz średnią 58,5 Obliczamy wariancję:

9 Obliczanie wariancji dla A=0Czyli od średniej kwadratów odjąć kwadrat średniej

10 Przykład 5, 7, 8, 9, 11 średnia dla tego szeregu wynosi X=8Obliczyć wariancję dla szeregu 5, 7, 8, 9, 11 średnia dla tego szeregu wynosi X=8 S2 =( )/5 – 82 S2 = ( )/5 – 64 S2 = 340/5 – 64 = 68 – 64 = 4

11 Średnia ważona 50 55 60 (n = 3) Suma = 165 , średnia X =165/3 = 55Liczebność całej populacji N= = 18 Średnia całej populacji: Suma = 1135, średnia X = 1135/18 = 63,06

12 Obliczanie średniej ważonejObliczenie nieprawidłowe X=( )/3 = 183/3 = 61 Obliczenie prawidłowe X=(3*55+5*62+10*66)/(3+5+10) X=1135/18 = 63,06

13 Zdarzenie losowe Zdarzeniem losowym nazywamyzdarzenie, które może się zrealizować lub nie, a którego wyniku nie można przewidzieć, można jednak podać prawdopodobieństwo jego realizacji (sukcesu lub porażki).

14 stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do możliwychPrawdopodobieństwo klasyczna definicja prawdopodobieństwa określa je jako: stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do możliwych

15 Rzuty kostką do gry Kostka do gry ma 6 ścianek oznaczonych oczkami od 1 do 6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia określonej liczby oczek wynosi 1/6 Rzut kostką: P(x = 1) p = 1/6 = 0,17 P(x = 2) p = 1/6 = 0,17 P(x=3 lub x=4) p = 2/6 = 0,34 P(x=1 lub x=2 lub x=3 lub x=4 lub x=5 lub x=6) p = 6/6 = 1 P(x=7) p = 0/6 = 0

16 Prawdopodobieństwo jest liczbą zawartą w granicach 0 - 1Prawdopodobieństw między tymi liczbami oznacza, że liczba zdarzeń sprzyjających w dużej próbie będzie proporcjonalna do prawdopodobieństwa wystąpienia tego zdarzenia .

17 Przykład Prawdopodobieństwo wyrzucenia „piątki” wynosi 1/6. Oczekujemy, że na 120 rzutów „piątek” będzie: 120*1/6 = 20 Tę liczbę (20) nazywamy liczebnością oczekiwaną albo teoretyczną, ponieważ obliczyliśmy ją na drodze teoretycznej zakładając, że prawdopodobieństwo otrzymania danej liczby oczek jest znane i wynosi 1/6. Jeśli rzeczywiście rzucimy kostką 120 razy i policzymy "piątki" - będzie to tzw. liczebność doświadczalna.

18 Przy rzucie monetą mamy dwie możliwości wyniku „orzeł” lub „reszka”Rzuty monetą Przy rzucie monetą mamy dwie możliwości wyniku „orzeł” lub „reszka” Prawdopodobieństwo wyrzucenia „orła” wynosi ½. Prawdopodobieństwo wyrzuceni dwóch kolejnych „orłów” wyniesie ½*½ = ¼ itd. Np. 1 reszka p = ½ 2 reszki p = ½• ½ = (1/2)2 =1/4 3 reszki p = ½•½•½ = (1/2)3 =1/16 4 reszki p =(1/2)4 = 1/32 itd. n reszek p =(1/2)n

19 Prawdopodobieństwo spotkaniaKobiet i mężczyzn jest mniej więcej tyle samo. Prawdopodobieństwo spotkania mężczyzny wynosi ½. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania 100 mężczyzn idących razem? P = (1/2)100 = 7,9•10-31 = 0, na 31 miejscu

20 Prawdopodobieństwo określonej liczby sukcesówJakie jest prawdopodobieństwo przy rzucie trzema monetami 3 „orłów” 2 „orłów” 1 „orła” 0 „orłów”

21 Rozkład dwumianowy (Bernouliego)O R O R O R O R O R O R O R (Liczba wyrzuconych orłów)

22 Przy trzech rzutach jest 8 możliwości:Trzy rzuty Przy trzech rzutach jest 8 możliwości: 3 „orły” 1 raz (1 na 8 możliwości) P(x =3) = 1/8 = 0,125 2 „orły” 3 razy (3 na 8 możliwości) P(x =2) = 3/8 = 0,375 1 „orzeł” 3 razy (3 na 8 możliwości) P(x =1) = 3/8 = 0,375 0 „orłów” 1 raz (1 na 8 możliwości) 1/8+3/8+3/8+1/8 = 8/8 = 1

23 Przykład obliczeń Liczebności oczekiwane:Jaka będzie oczekiwana liczebność wyrzucenia 3, 2, 1, 0 „orłów” przy trzykrotnym rzucie monetą (lub jednokrotnym trzema monetami) w grupie liczącej 60 osób? Liczebności oczekiwane: 3 „orły” : 60*0,125 = 7,5 (7-8 osób) 2 „orły”: 60*0,365 = 22,5 (22-23 osoby) 1 „orzeł” 60*0,375 = 22,5 (22-23 osoby) 0 „orłów” 60*0,125 = 7,5 (7-8 osób)