1 XV Congreso Nacional de MatemáticasMétodo de Análisis para problemas no lineales de Control óptimo y discreto XV Congreso Nacional de Matemáticas D. Patiño, R. Meziat Departamento de Matemáticas Universidad de los Andes Colombia, 2005

2 Contenido Introducción Confexificación Método de los momentosCasos de Aplicación Conclusiones y trabajo futuro Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

3 Introducción Proponemos una forma alternativa para resolver problemas de control óptimo discreto no lineal: Caso I: Control continuo, sistema continuo. Caso II: Control discreto, sistema continuo. Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

4 Caso III: Control discreto, sistema discreto.Introducción Caso IV: Forma de Mayer Caso III: Control discreto, sistema discreto. x: Variables de estado del sistema u: Señal de control Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

5 Introducción Dificultades de linealidad: NO LINEAL: IntegraciónTécnicas clásicas: Análisis por espacio de estados, Control BIG-BANG, Optimización dinámica Dificultades de linealidad: NO LINEAL: Integración Inestabilidad Caos Singularidades Dificultades de convexidad: NO CONVEXO : No aplica la teoría clásica para establecer existencia de la solución. Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

6 *Pedregal y Muñoz. Universidad de Castilla – La Mancha 1998Introducción *Pedregal y Muñoz. Universidad de Castilla – La Mancha Método de relajación en medidas de probabilidad (MEDIDAS PARAMETRIZADAS SOBRE EL CONTROL - YOUNG). Espacio de control (Lineal – Convexo en medidas de probabilidad) Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

7 Convexificación f  co()*Pedregal y Muñoz. Proceso de convexificación en el espacio de control , mediante integración con distribuciones de probabilidad: f  co() Obtenemos un problema definido en la envoltura convexa del espacio de control. Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

8 Método de los momentos Lineal Convexa mi: Momentos Estructura:Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

9 Método de los momentos Estructura polinomial:Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

10 Método de los momentos Caracterización de momentosHankel Semidefinida Positiva Problema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m  co() Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

11 Método de los momentos Convexo Proyección Convexo COVEXIFICACIÓNA B Medida en P()  m Vector de momentos Convexo Proyección Convexo COVEXIFICACIÓN Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

12 Análisis del problema EL PROBLEMA ES NO LINEAL EN EL CONTROL !!!!!Supongamos el caso donde el control solo toma dos valores: EL PROBLEMA ES NO LINEAL EN EL CONTROL !!!!! EL PROBLEMA PUEDE NO SER CONVEXO!!!! h(u) ES COERCIVO! Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

13 Análisis del problema f  co()Para abordar el problema de no linealidad y el de no convexidad, utilizamos una relajación en medidas de probabilidad. f  co() Obtenemos un problema definido en la envoltura convexa del espacio de control. Espacio de control (Lineal – Convexo en medidas de probabilidad) Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

14 Análisis del problema La convexificación se realiza mediante distribuciones de probabilidad, y a su vez se discretizan por los momentos algebraicos. mi: Momentos Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

15 Análisis del problema Hankel Semidefinida PositivaCARACTERIZACIÓN DE MOMENTOS: Hankel Semidefinida Positiva Problema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m  co() Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

16 Ejemplos trigonométricos 1x y S(x) Modelo: Se trata de minimizar la energía del sistema y la cantidad que se aleje de la horizontal L Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

17 Ejemplos trigonométricos 1Minimización de energía cinética (Corriente en y): PROBLEMA DE CONTROL NO LINEAL MÉTODO CLÁSICO (HAMILTON) Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

18 Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásicoPrincipio del mínimo de Poyntriaguin RUNGE-KUTTA 4to ORDEN Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

19 Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásicot vs X t vs Y X vs Y Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

20 Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásicoPROBLEMA DE CONTROL NO LINEAL RELAJACIÓN CONVEXA PROGRAMA MATEMÁTICO CONVEXO Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

21 Ejemplos trigonométricos 1 – Nueva propuestaBase trigonométrica Matriz de TOEPLITZ semidefinida positiva Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

22 Ejemplos trigonométricos 1 – Nueva propuestat vs X t vs Y X vs Y COMPARACION CON EL MÈTODO HABITUAL Estimación del Error t vs X t vs Y Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

23 Ejemplos trigonométricos 2Minimización de energía cinética (Corriente en x, y): y x L Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

24 Ejemplos trigonométricos 2 – Método clásicoPRINCIPIO DEL MÍNIMO DE POYNTRIAGUIN y x RUNGE-KUTTA 4to ORDEN L Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

25 Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuestaBASE DE LA RELAJACIÓN: {1,eit,e-it} Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

26 Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta20 puntos t vs X t vs Y 30 puntos Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

27 Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta# puntos 20 puntos 0.1315 0.0542 0.1432 0.0595 30 puntos 0.0961 0.0385 0.1019 0.0439 40 puntos 0.0773 0.0301 0.1010 0.0366 Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

28 PROBLEMA DE CONTROL CONVEXOEjemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria EDOs NO LINEALES PROBLEMA DE CONTROL CONVEXO Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

29 Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoriat vs Y t vs X COMPARACIÓN CON PMP X vs Y Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

30 Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria# puntos 20 puntos 0.0765 0.0201 0.1012 0.0435 30 puntos 0.0645 0.0123 0.0812 0.0329 40 puntos 0.0443 0.011 0.0810 0.0387 Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

31 Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de trayectoriaMétodo de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

32 Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de trayectoriaControl signal t vs X Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

33 Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de trayectoriaMétodo de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

34 Ejemplos polinomiales 2Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

35 Ejemplos polinomiales 2Control signal t vs X Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

36 Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariableMétodo de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

37 Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariableMétodo de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

38 Ejemplos polinomiales 4 – Existencia de minimizadorNO EXISTE MINIMIZADOR!! Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

39 Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariableControl signal t vs X t vs Y Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

40 Casos de aplicación discretoPlanificación de trayectorias. Posibilidades de movimiento: Arriba Abajo Quieto Punto meta Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

41 Casos de aplicación discretoFormulación: Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

42 Casos de aplicación discretoTrayectoria Control Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

43 Casos de aplicación discretoMétodo de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

44 Casos de aplicación discretoControl de un motor DC. R: Resistencia eléctrica del motor. I: Momento de Inercia L: Inductancia K: Torque i: Corriente w: Velocidad Angular Solo acepta tres voltajes a la entrada (+1, -1, 0) Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

45 Casos de aplicación discretoFormulación I: Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

46 Casos de aplicación discretoCorriente Velocidad angular Control Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

47 Casos de aplicación discretoFormulación II: Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

48 Casos de aplicación discretoControl Velocidad angular Corriente Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

49 Conclusiones y trabajo futuroLos resultados con las técnicas de relajación son buenos y poseen una buena exactitud. El problema transformado es convexo en el control, por lo cual posee solución (Cesari, 1983) La señal de control se obtiene a partir del momento central en la serie de momentos de la convexificación. Aplicaciones fuertes en economía. Próxima meta: Controlar sistemas MIMO (Multiple Input Multiple Output) Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.