1 XXII Olimpiada Thales

2 Solución ¡TEN AMIGOS “PA’ESTO”! Menú Me ha llegado un aviso de correos para recoger un paquete. Aprovechando que mi amiga Carlota trabaja allí, la llamo para preguntarle las dimensiones y así saber si puedo ir en bici a recogerlo. En seguida me arrepentí, porque Carlota, que es una “pirá” de las matemáticas me dio la siguiente respuesta: Sólo te diré que tiene la misma forma que una caja de zapatos y que la superficie de sus caras es 120 cm 2, 80 cm 2 y 96 cm 2 respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones del paquete?

3 Solución Menú Solución 1 Solución 2

4 Enunciado Menú Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados a c b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80 Solución 2

5 Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 ¿Qué me dice esto que tengo?  1 120 es un múltiplo de a y de b, o bien, a y b son divisores de 120.  9 96 es un múltiplo de b y de c, o bien, b y c son divisores de 96.  8 80 es un múltiplo de a y de c, o bien, a y c son divisores de 80.  a a es divisor común de 120 y de 80.  b b es divisor común de 120 y de 96.  c c es divisor común de 96 y de 80. Solución 2

6 Enunciado Menú Solución: Escribimos los divisores de los tres números. De 120: 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 De 96: 1 2 3 4 6 8 12 16 24 32 48 96 De 80: 1 2 4 5 8 10 16 20 40 80 Y marcamos los divisores comunes a dos de ellos. a c b a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 Solución 2

7 Enunciado Menú Solución: a c b a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 Bastará buscar parejas cuyos productos sean los deseados. Por tanto: Solución 2

8 Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 ¡Pero a ≠ 80! 1 80 a·b = 120 ¿? baSi c vale: Solución 2

9 48 Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 2 ¡Pero b ≠ 48! a·b = 120 ¿? baSi c vale: 1 80 Solución 2

10 Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 Si c vale: aba·b = 120 ¿? 42024No ¡20·24 ≠ 120! 48 2 1 80 Solución 2

11 Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 81012¡Siii! a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm a·b = 120 baSi c vale: 42024No 48 2 1 80 Solución 2

12 Enunciado Menú Solución: a · b = 120 b · c = 96 a · c = 80 a puede ser: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b puede ser: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c puede ser: 1, 2, 4, 8, 16 1656No ¡5·6 ≠ 120! a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm 81012¡Siii! a·b = 120 baSi c vale: 42024No 48 2 1 80 Solución 2

13 Enunciado Menú Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm ¡A por la bici! Solución 2

14 Enunciado Menú Solución: Para empezar daremos un nombre a las incógnitas: las medidas de los lados. a c b Sabemos que a · b = 120; b · c = 96; a · c = 80 a b c 120 8096 Si desplegamos la caja tenemos que: Solución 1

15 Enunciado Menú Descomponiendo estos números tenemos que: 120= 2 3 x3x5; a b c 120 8096 Solución: 80= 2 4 x5 y96= 2 5 x3 Si sustituímos los números por sus descomposiciones, tenemos 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 2x2 2x2 2x3 a c b Solución 1

16 Enunciado Menú Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... a b c 120 8096 Solución: Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que: 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 2x2 2x2 2x3 a c b 120 80 96 =5x Quitemos pues el cinco de las descomposiciones Solución 1

17 Enunciado Menú Ahora bien, fijémonos en el 5 que aparece... a b c 96 Solución: Como 5 no aparece en la descomposición de 96, necesariamente es un factor de “a”. Y tenemos que: 2x2 2x2 2x3 a c b 120 80 96 =5x Quitemos pues el cinco de las descomposiciones 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 Solución 1

18 Enunciado Menú Vamos a seguir con el 3... a b c 120 8096 Solución: Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que: 2x2 2x2 2x3 a c b 120 80 96 =5x Quitando el 3 nos queda... =3x 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 Solución 1

19 Enunciado Menú Vamos a seguir con el 3... a b c 120 8096 Solución: Como 3 no aparece en la descomposición de 80, necesariamente es un factor de “b”. Y tenemos que: a c b 120 80 96 =5x Quitando el 3 nos queda... =3x 2x2 2x2 2x3 2x2x2x3x5 2x2x2x2x5 Solución 1

20 Enunciado Menú Ahora sólo nos quedan potencias de 2 a b c 96 Solución: Si “a” tuviese a 2x2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones: a c b 120 80 96 =5x =3x El lado “c” tendría obligatoriamente el 2 en su descomposición y por tanto, “b” tendría a 2 4 en la suya lo que es imposible 2x2x2x3x5 2x2x2 2x2x2x2x5 2x2x2x2 2x2 2x2 2x3 Solución 1

21 Enunciado Menú Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. a b c 120 8096 Solución: Los quitamos 2x2x2 2x2x2x2 a c b 120 80 96 =5x =3x2 2x2 2x2 2x3 =3 Solución 1

22 Enunciado Menú Lo que significa que “b” tiene algún 2 en la suya. a b c 120 8096 Solución: 2x2 2x2 a c b 120 80 96 =5x =3x2 Si “a” tuviese a 2x2, entonces quitando dichos factores tenemos que: 2x2 El lado “c” tendría obligatoriamente el 2 2 en su descomposición y por tanto, “b” tendría en la suya a 2 2 lo que es imposible 2x2x2x2 Los quitamos Solución 1

23 Enunciado Menú a b c 120 8096 Solución: 2x2 2x2x2x2 2x2 a c b 120 80 96 =5x =3x2 El lado “c” tendría obligatoriamente a 2 4 en su descomposición lo que no es posible. Razonando de la misma forma, si “b” tuviese a 2x2 como factores, entonces quitando estos factores de las descomposiciones: 2x2 2x2 Solución 1

24 Enunciado Menú a b c 120 8096 Solución: 2x2 2x2x2x2 2x2 a c b 120 80 96 =5 =3x2 Y si los quitamos... Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir: =5x2 =3x2x2 Solución 1

25 Enunciado Menú a b c 8096 Solución: 2x2x2 2x2 2 a c b 120 80 96 =3x2x2 Y si los quitamos... Por tanto, tanto “a” como “b”, tienen algún factor 2 en sus respectivas descomposiciones. Es decir: Es evidente que c=2x2x2 =2x2x2 =5x2 Solución 1

26 Enunciado Menú 8096 Solución: a c b 120 80 96 b =12 ¡Ya está!, vamos a comprobarlo: c =8 120 a =10 Tenemos que a · b = 120;a · c = 80b · c = 96 y Solución 1

27 Enunciado Menú Solución: Demostrado por tanto que a = 10, b = 12 y c = 8 es la única solución a = 10 cm b = 12 cm c = 8 cm ¡A por la bici! Solución 1