1 Zadanie: przy pomocy algorytmu simplex rozwiązać następujące zadanie programowania liniowego:przy ograniczeniach: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

2 Najpierw doprowadźmy ograniczenia do postaci, w której wektor wyrazów wolnych jest dodatni. W naszym przykładzie wystarczy pomnożyć obydwie nierówności przez –1: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

3 Następnie musimy doprowadzić nasze zadanie do tzw. postaci standardowej. Dodajemy do nierówności ograniczeń tzw. zmienne dopełniające, aby nierówności zastąpić równościami: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

4 wektor wyrazów wolnychZ obecnej postaci zadania możemy już odczytać wszystkie potrzebne do rozwiązania zadania wielkości: macierz A wektor wyrazów wolnych transponowany wektor współczynników funkcji celu Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

5 Musimy wybrać z macierzy A dwa wektory, które tworzą bazę (czyli muszą to być wektory liniowo niezależne): Podpowiedź: na początku najprościej jest wybrać te wektory, które są „powiązane” ze zmiennymi dopełniającymi – w naszym wypadku były to x3 i x4, więc wybieramy wektory x3 i x4, ponieważ tworzą one poprawną bazę: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

6 Rysujemy tabelę simplex, która posłuży nam do rozwiązania zadaniaRysujemy tabelę simplex, która posłuży nam do rozwiązania zadania. Liczba kolumn zależy oczywiście od rozmiaru macierzy A: x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

7 Górny wiersz tabeli wypełniamy współczynnikami funkcji celu:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

8 W kolumnie NB wpisujemy wektory, które należą do naszej bazy:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

9 W kolumnie CB wpisujemy wartości współczynników funkcji celu, które odpowiadają wektorom należącym do naszej bazy: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

10 Tylko dla pierwszej bazy: w kolumnę wyrazów wolnych wpisujemy wektor wyrazów wolnych:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

11 Tylko dla pierwszej bazy: w odpowiednie kolumny x1, x2,Tylko dla pierwszej bazy: w odpowiednie kolumny x1, x2, ..., xn oraz wiersze xB1, xB2 wpisujemy elementy macierzy A: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 10 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

12 Wypełniamy zaznaczone pole według schematu:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 10 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

13 Wypełniamy pozostałe puste pola według schematu (dla x1):-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

14 Wypełniamy pozostałe puste pola według schematu (dla x1):-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

15 Podpowiedź: na pozycjach odpowiadających wektorom bazy zawsze będą zera – nie trzeba ich liczyć!-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

16 Sprawdzamy, czy wszystkie, poza pierwszym, pola w wyliczanym ostatnio wierszu mają wartości mniejsze lub równe 0. Jeśli tak jest, znaleźliśmy rozwiązanie optymalne i jest nim wektor o współczynnikach takich, jak wartości kolumny CB. W przeciwnym wypadku próbujemy znaleźć lepsze rozwiązanie. W tym celu musimy usunąć z bazy jeden z wektorów i zastąpić go innym, po czym sprawdzić, czy otrzymane nowe rozwiązanie bazowe będzie rozwiązaniem optymalnym zadania. W naszym przykładzie wszystkie interesujące nas wartości są dodatnie, więc znalezione rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym. Musimy więc zmienić bazę i szukać kolejnych rozwiązań. Najpierw wybierzemy wektor, który w następnym kroku umieścimy w nowej bazie. Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

17 Szukamy największej spośród zaznaczonych wartościSzukamy największej spośród zaznaczonych wartości. Wektor jej odpowiadający zostanie umieszczony w nowej bazie. -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

18 Jak widać, największa wartość to 2, odpowiadająca wektorowi x2Jak widać, największa wartość to 2, odpowiadająca wektorowi x2. Dlatego też w nowej bazie znajdzie się wektor x2. -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

19 Musimy jeszcze ustalić, który z dwóch wektorów bazy z niej usuniemyMusimy jeszcze ustalić, który z dwóch wektorów bazy z niej usuniemy. Musimy obliczyć dwa ilorazy według schematu: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

20 Musimy jeszcze ustalić, który z dwóch wektorów bazy z niej usuniemyMusimy jeszcze ustalić, który z dwóch wektorów bazy z niej usuniemy. Musimy obliczyć dwa ilorazy według schematu: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

21 Wybieramy najmniejszy dodatni spośród obliczonych ilorazówWybieramy najmniejszy dodatni spośród obliczonych ilorazów. Odpowiadający mu wektor zostanie usunięty z nowej bazy. -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

22 Jak widać, najmniejszy dodatni iloraz wynosi 4Jak widać, najmniejszy dodatni iloraz wynosi 4. Odpowiada on wektorowi x4, dlatego zostanie on usunięty z nowej bazy. -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

23 Rysujemy nową tabelę simplex:NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

24 Górny wiersz tabeli wypełniamy współczynnikami funkcji celu:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

25 W kolumnie NB wpisujemy wektory, które należą do nowej bazy:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

26 W kolumnie CB wpisujemy wartości współczynników funkcji celu, które odpowiadają wektorom należącym do nowej bazy: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

27 Spójrzmy jeszcze raz na poprzednią tabelę simplexSpójrzmy jeszcze raz na poprzednią tabelę simplex. Szukamy wartości leżącej na przecięciu kolumny odpowiadającej wstawianemu do nowej bazy wektorowi i wiersza odpowiadającego usuwanemu z nowej bazy wektorowi: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

28 Do nowej tabeli simplex wstawiamy wiersz z poprzedniej tabeli odpowiadający usuniętemu już wektorowi, dzieląc jego elementy przez wartość pola omówionego przed chwilą: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 4÷1 -2÷1 1÷1 0÷1 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

29 Do nowej tabeli simplex wstawiamy wiersz z poprzedniej tabeli odpowiadający usuniętemu już wektorowi, dzieląc jego elementy przez wartość pola omówionego przed chwilą: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 4 1 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

30 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 6 4 1 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

31 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 6 3 4 1 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

32 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 6 3 4 1 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

33 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 6 3 1 4 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

34 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 1 2 10 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 6 3 1 4 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

35 Wypełniamy zaznaczone pole według schematu:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

36 Wypełniamy pozostałe puste pola według schematu (dla x1):-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

37 Wypełniamy pozostałe puste pola według schematu (dla x1):-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

38 Czy zaznaczone wartości w ostatnio wypełnionym wierszu są mniejsze lub równe 0?Nie, więc ponownie musimy wybrać dwa wektory – jeden, który wstawimy do nowej bazy i jeden, który z niej usuniemy. -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

39 Największą wartością w ostatnio wypełnionym wierszu jest 5, a odpowiada jej wektor x1. Do nowej bazy wstawimy więc wektor x1. -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

40 -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Liczymy dwa ilorazy:x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

41 Najmniejszym dodatnim ilorazem jest 2, więc odpowiadający mu wektor x3 zostanie usunięty z nowej bazy. -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

42 Rysujemy nową tabelę simplex:NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

43 Górny wiersz tabeli wypełniamy współczynnikami funkcji celu:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

44 W kolumnie NB wpisujemy wektory, które należą do nowej bazy:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

45 W kolumnie CB wpisujemy wartości współczynników funkcji celu, które odpowiadają wektorom należącym do nowej bazy: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

46 Spójrzmy jeszcze raz na poprzednią tabelę simplexSpójrzmy jeszcze raz na poprzednią tabelę simplex. Szukamy wartości leżącej na przecięciu kolumny odpowiadającej wstawianemu do nowej bazy wektorowi i wiersza odpowiadającego usuwanemu z nowej bazy wektorowi: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

47 Do nowej tabeli simplex wstawiamy wiersz z poprzedniej tabeli odpowiadający usuniętemu już wektorowi, dzieląc jego elementy przez wartość pola omówionego przed chwilą: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 6÷3 3÷3 0÷3 1÷3 -1÷3 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

48 Do nowej tabeli simplex wstawiamy wiersz z poprzedniej tabeli odpowiadający usuniętemu już wektorowi, dzieląc jego elementy przez wartość pola omówionego przed chwilą: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 2 1 1/3 -1/3 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

49 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 2 1 1/3 -1/3 8 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

50 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 2 1 1/3 -1/3 8 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

51 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 2 1 1/3 -1/3 8 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

52 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 2 1 1/3 -1/3 8 2/3 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

53 Wartości wiersza odpowiadającego drugiemu wektorowi bazy wyznaczamy w przedstawiony poniżej sposób, korzystając z wartości zawartych w poprzedniej tabeli simplex: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -8 5 6 3 1 4 Stara tabela: -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB 2 1 1/3 -1/3 8 2/3 Nowa tabela: Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

54 Wypełniamy zaznaczone pole według schematu:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -18 2 1 1/3 -1/3 8 2/3 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

55 Wypełniamy pozostałe puste pola według schematu (dla x1):-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -18 2 1 1/3 -1/3 8 2/3 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

56 Wypełniamy pozostałe puste pola według schematu (dla x1):-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -18 -5/3 -1/3 2 1 1/3 8 2/3 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

57 Tak, więc znaleźliśmy rozwiązanie optymalne!Czy zaznaczone wartości w ostatnio wypełnionym wierszu są mniejsze lub równe 0? Tak, więc znaleźliśmy rozwiązanie optymalne! -1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -18 -5/3 -1/3 2 1 1/3 8 2/3 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)

58 Rozwiązanie optymalne zadania:-1 -2 x1 x2 x3 x4 NB CB -18 -5/3 -1/3 2 1 1/3 8 2/3 Autor: Michał KĘPIEŃ (I4X2S0)