1 Zapraszam do obejrzenia mojej prezentacji na temat bardzo ciekawego zagadnienia, jakim jest wstęga Möbiusa.
2 August Ferdinand Möbius (1790-1868)Urodził się w miejscowości Schulpforta w Niemczech. Do 13 roku życia uczył się w domu, później rozpoczął naukę w szkole. Studiował matematykę oraz fizykę i astronomię. Z powodu swojej skromności zajmował niepozorne stanowisko astronoma w drugorzędnym niemieckim obserwatorium. W wieku 68 lat przekazał on Akademii Paryskiej rozprawę, o powierzchniach „jednostronnych”, która zawierała niektóre spośród najbardziej zadziwiających faktów tego nowego rodzaju geometrii. Swoją popularność zawdzięcza przede wszystkim „wstędze Möbiusa”, powierzchni o pewnych charakterystycznych własnościach.
3 Topologia (gr. topos – miejsce, logos – nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo punktów). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury. Przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie powierzchni bez jej rozerwania i „zlepienia” różnych punktów.
4 Wstęga Möbiusa Powstaje z prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden z końców o 180°. Powinna wyglądać tak: Posiada ona dwie ważne cechy, o których dowiemy się później – podczas eksperymentów.
5 Eksperyment 1 Robimy 2 kółka, ale jedno sklejamy po półobrocie paska. Najlepiej stosować paski o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm . Pośrodku każdego z nich rysujemy linię ciągłą wzdłuż całej długości Co zauważamy ?
6
7 Zauważamy, że w przypadku kółka linia została narysowana tylko po jednej stronie , a w przypadku wstęgi Möbiusa po obu stronach. Wnioski: Wstęga Möbiusa jest powierzchnią jednostronną (ma tylko jedną stronę). Gdybyśmy na przykład chcieli pokolorować ją tylko po jednej stronie, zakolorowalibyśmy całą jej powierzchnię. Ponadto wstęga ta ma tylko jedną krawędź.
8 Eksperyment 2 Wykorzystujemy figury z poprzedniego ćwiczenia. Przecinamy każdą z nich wzdłuż narysowanej wcześniej linii Co otrzymujemy ?
9
10 W przypadku rozcięcia obręczy otrzymujemy dwie obręcze, ale dwa razy węższe. Natomiast w przypadku rozcięcia wstęgi Möbiusa otrzymujemy ponownie wstęgę, tym razem już dwustronną Jest ona 2 razy węższa i 2 razy dłuższa niż na początku.
11 Zastosowania wstęgi MöbiusaWstęga ta znalazła zastosowanie w technice. Poza tym jest ona lubianym elementem dekoracyjnym. Fontanna przed gmachem Fermi National (USA)
12 Ogród Rzeźb w Muzeum Sztuki w Baltimore, w stanie Maryland (USA).Rzeźba przy wejściu do Science Center na Uniwersytecie Harvarda w Cambridge, w stanie Massachusetts (USA).
13 Fontanna w muzeum nauki La Villette w Paryżu, gdzie woda płynie w kształcie wstęgi Möbiusa.
14 Wstęga Möbiusa jest także wykorzystana np. w logo firmy Renaultalbo w symbolu recyklingu czy też w matematycznym symbolu nieskończoności.
15 Ma ona również inne zastosowania :istnieją książki sklejone w kształt wstęgi Möbiusa, które można czytać w kółko i to zaczynając z dowolnego miejsca, w narciarskich skokach akrobatycznych jedna z ewolucji nosi nazwę "koziołek Möbiusa", gdyż ciało narciarza zakreśla w czasie jej wykonywania fragment wstęgi Möbiusa, w technice używa się pasów transmisyjnych skręconych w kształt wstęgi Möbiusa, co powoduje, że ich powierzchnia zużywa się jednakowo po obu stronach, w kinematografii taśma filmowa w kształcie wstęgi Möbiusa pozwala na wielokrotną emisję filmu bez konieczności wymiany szpuli z taśmą.
16 Eksperyment 3 Sklejamy ponownie wstęgę Möbiusa, ale tym razem używamy szerszego paska (np. 5 cm). Następnie wykonujemy równoległe rozcięcia wzdłuż. Co otrzymujemy ?
17
18 Po rozcięciu wstęgi Möbiusa dwoma równoległymi cięciami otrzymujemy dwie wstęgi połączone ze sobą.
19 Eksperyment 4 Robimy nacięcie w pasku, z którego skleimy wstęgę Möbiusa. Następnie przewlekamy jeden koniec paska przez szczelinę i sklejamy końce tak, jak przy wykonywaniu wstęgi. Na końcu przedłużamy nacięcie wzdłuż całego paska. Co powstaje ?
20
21 W wyniku sklejenia wstęgi Möbiusa po uprzednim przewleczeniu jednego z jej końców przez szczelinę powstałą wskutek zrobienia nacięcia w pasku otrzymujemy dwie osobne wstęgi Möbiusa.
22 Podsumowanie Wstęga Möbiusa powstaje po sklejeniu końców prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden koniec o 180°, Jest to niezwykła topologicznie powierzchnia, mająca jedną stronę i jedną krawędź, Została odkryta w 1858 roku przez Augusta F. Möbiusa, Jest stosowana w wielu dziedzinach, np. w technice, architekturze, W wyniku jej odpowiedniego rozcinania można otrzymać bardzo ciekawe efekty.
23 Eksperyment 5 Na zakończenie eksperyment nie bardzo na czasie, bo związany z walentynkami, ale można otrzymać bardzo ciekawy efekt. Sklejamy pod kątem prostym dwie czerwone wstęgi, jedną prawostronnie i jedną lewostronnie skręconą, a następnie rozcinamy je wzdłuż środka Co otrzymujemy?
24
25 Otrzymujemy dwa połączone ze sobą serca .
26 Źródła informacji „Ścieżki matematyki” N. Langdon, Ch. Snape, wyd. GWOWrocławski Portal Matematyczny Wikipedia, wolna encyklopedia
27 Dziękuję za uwagę Dziękuję za obejrzenie mojej prezentacji na temat wstęgi Möbiusa. Autor prezentacji: Maciej Woźniak kl. III a