1 Zasada zachowania pęduŚrodek masy Środek masy jest średnim położeniem, przy czym masa jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej.

2 Np. dla dwóch różnych mas m1 i m2

3 Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamyponieważ suma jest całkowitą masą układu to możemy zapisać

4 Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej, wówczas środek masyznajdziemy postępując analogicznie dla każdej ze współrzędnych.

5 układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno równaniewektorowe środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zależy od wyboru układu odniesienia)

6 Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masachm1 = 1kg, m2 = 2kg i m3 = 3kg, umieszczonych w wierzchołkach równobocznego trójkąta o boku 1m. Wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia, można przyjąć układ jak na rysunku:

7 (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12mxśrm = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m yśrm = (m1y1 + m2y2 + m3y3)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg· m)/6kg = m

8 Mrśrm = m1r1 + m2r2 +.......+ mnrn Ruch środka masyRozważmy układ punktów materialnych o masach m1, m2, m3 ..., mn i o stałej całkowitej masie M. Można napisać: Mrśrm = m1r1 + m2r mnrn gdzie rśrm jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia

9 Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn Różniczkując względem czasu otrzymamylub Mvśrm = m1v1 + m2v mnvn

10 Maśrm = m1a1 + m2a2 + .......+ mnan Maśrm = F1 + F2 + ...........+ FnJeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane równanie lub Maśrm = m1a1 + m2a  mnan czyli Maśrm = F1 + F Fn

11 środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki Maśrm = Fzew środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały

12 twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych:układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie); wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Uwaga: Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości, wtedy działa ona na środek ciężkości. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne, np., do obliczania energii kinetycznej.

13 Energia kinetyczna Ek w układzie środka masygdzie vwzgl jest prędkością mierzoną w układzie środka masy

14 (Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn) Po wykonaniu mnożenia skalarnegowyraz drugi równa się iloczynowi M i prędkości środka masy (Mvśrm = m1v1 + m2v mnvn) w układzie środka masy, w którym mierzymy, vśrm = 0 gdzie Ek' jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy

15 Dla ciał sztywnych to równanie przyjmuje postaćponieważ w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obrotową)

16 Pęd układu punktów materialnychpęd punktu materialnego jest iloczynem jego masy m i prędkości v II zasada dynamiki Newtona ma postać:

17 P = p1 + p2 + ......... + pn Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvnZakładamy, że zamiast pojedynczego punktu mamy układ n punktów materialnych o masach m1, , mn i masa całkowita układu (M) pozostaje stała. Każdy punkt materialny ma pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość ma całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia. P = p1 + p pn Jeżeli porównamy tę zależność z równaniem Mvśrm = m1v1 + m2v mnvn to otrzymujemy P = Mvśrm

18 Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy Ponieważ Fzew = Maśrm, to II zasada dynamiki Newtona dla układu punktów materialnych przyjmuje postać bo

19 Zasada zachowania pęduPrzypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na podstawie równania Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały

20 Zasada zachowania pędu II (układy o zmiennej masie)Rakieta wyrzuca ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość

21 Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem prędkość Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością vs względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem prędkość spalin względem rakiety vwzg jest dana zależnością vwzgl = vs – v Jeżeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z prędkością v0 to masa rakiety maleje o dm a jej prędkość rośnie o dv, przy czym

22 całkowita szybkość zmian pędu P układu

23 Równanie uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masajak i prędkość, podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu jest, zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, równa sile zewnętrznej działającej na układ. Ostatni wyraz w równaniu może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwę siły ciągu.

24 Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej, to siły zewnętrzneFzew są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie), wówczas Fzew reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu, aby przezwyciężyć Fzew.

25

26

27 Zderzenia Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazywamy siłami impulsowymi. Takie siły działają w czasie zderzeń, np. uderzenie piłki o ścianę lub zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "dotykać", ale wtedy też mówimy o zderzeniu, np. zderzenie cząstki alfa (4He) z jądrem jakiegoś pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym. można rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek, np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron:  =  + n.

28 Wszystkie "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu" prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach na podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele wiadomo o siłach "podczas" zderzenia

29

30 Wprawdzie często nie znamy sił działających podczas zderzenia,ale wiemy, że musi być spełniona zasada zachowania pędu (siły zewn. = 0) oraz zasada zachowania energii całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można w wielu przypadkach, stosując te zasady, przewidzieć wynik zderzenia.

31

32 Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetycznajest zachowana podczas zderzenia czy też nie. Jeżeli tak to zderzenie nazywamy sprężystym, jeżeli nie to niesprężystym. Jedyne prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż nie zawsze) to zderzenia między atomami, jądrami i cząsteczkami elementarnymi. Zderzenia między ciałami są zawsze w pewnym stopniu niesprężyste, chociaż czasami można je traktować w przybliżeniu jako sprężyste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste. Np. zderzenie między pociskiem i drewnianym klockiem, gdy pocisk wbija się w klocek.

33

34

35 Rozpatrzmy zderzenie sprężyste w przestrzeni jednowymiarowej.Wyobraźmy sobie dwie gładkie nie wirujące kule, poruszające się wzdłuż linii łączącej ich środki. Masy kul m1 i m2, prędkości przed zderzeniem v1 i v2, a po zderzeniu u1 i u2

36 m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 m1(v1 - u1) = m2(u2 - v1)

37 v1 + u1 = v2 + u2 v1 - v2 = u2 - u1 w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się cząstek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu

38

39 m1 = m2 wtedy u1 = v2 oraz u2 = v1 czyli cząstki wymieniły się prędkościami.

40 v2 = 0 wtedy oraz

41 Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jestzachowana. Różnica pomiędzy energią kinetyczną początkową i końcową przechodzi np. w ciepło lub energię potencjalną deformacji.

42

43 Jaką część swej energii kinetycznej traci neutron (m1)w zderzeniu centralnym z jądrem atomowym (m2) będącym w spoczynku?

44 dla ołowiu m2 = 206 m1 dla węgla m2 = 12 m1 dla wodoru m2 = m1 Wyniki te wyjaśniają dlaczego parafina, która jest bogata w wodór, jest dobrym spowalniaczem (a nie ołów)