1 Zbieżność szeregu FourieraWarunki zbieżności Dirichleta Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości Peter G. L. Dirichlet Zbieżność średniokwadratowa Twierdzenie Parsevala Moc ułamkowa Efekt Gibbsa Okna Fejera, Lanczosa... Podsumowanie „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

2 Szereg Fouriera sygnału x(t)„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

3 Warunek zbieżności Dirichleta (I)Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, A2) posiada skończoną liczbę ekstremów, A3) jest ograniczony klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki A1A3, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

4 Warunek Dirichleta (I)„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir czas x(t) T sygnał klasy A I

5 Warunek Dirichleta (I)„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir czas x(t) T sygnał klasy B II I

6 Warunek Dirichleta (I)W punktach nieciągłości I rodzaju szereg Fouriera przyjmuje wartość: sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnału x(t) jego wartość powinna być równa średniej arytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej. Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera do sygnału we wszystkich chwilach czasu (ale jednostajną wyłącznie w punktach ciągłości). „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

7 Zachowanie szeregu Fouriera w punkcie nieciągłościx(t-) x(t) x(t+) czas t T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

8 Punkt nieciągłości Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości12 10 8 6 4 2 (10 harmonicznych) -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 czas „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

9 Punkt nieciągłości -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 2 4 6 8 10 12 Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości czas (20 harmonicznych) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

10 Warunek zbieżności Dirichleta - IIwarunek II Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) ma wahanie ograniczone klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. warunek I „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

11 Warunek zbieżności Dirichleta - IISygnał bezwzględnie całkowalny wg. G. M. Fichtenholz „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom II, str. 507 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

12 Warunek zbieżności Dirichleta - II„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

13 Peter Gustav Lejeune DirichletMatematyk niemiecki, I poł. XIX wieku Najważniejsze osiągnięcia: teoria liczb - funkcje dzeta teoria mnogości - zasada szufladkowa teoria szeregów - zasada zbieżności „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

14 Peter Gustav Lejeune DirichletFunkcje dzeta Riemanna: (przypadek funkcji Dirichleta) Tożsamość Eulera: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

15 Peter Gustav Lejeune DirichletHipoteza Riemanna: (nieudowodniona do dzisiaj) Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele) funkcji dzeta Riemanna mają postać: Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne wskazują, że przeszło 1,5 x 109 liczb spełnia hipotezę Riemanna. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

16 Peter Gustav Lejeune DirichletTwierdzenie o liczbach pierwszych: (korzysta z funkcji dzeta Dirichleta) Błąd oszacowania: x = ,5% x = ,0% x = ,5% „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

17 Peter Gustav Lejeune DirichletZasada pudełkowa Dirichleta: Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach, to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty. N = 4 K = 3 Zastosowanie: W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę włosów na głowie (N  ) Największa liczba włosów na głowie - K = „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

18 Zbieżność średniokwadratowaszereg Fouriera aproksymacja szeregiem Fouriera Średniokwadratowy błąd aproksymacji „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

19 Zbieżność średniokwadratowaSzereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratową sygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki: a więc skończona energia (moc) sygnału. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

20 Twierdzenie ParsevalaTwierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału: w dziedzinie częstotliwości: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

21 Moc ułamkowa 1 t T = 1 |Xk| Moc ułamkowa kfo0.2 T = 1 t 1 0.15 |Xk| 0.1 Moc ułamkowa 0.05 5 10 15 20 25 30 35 kfo „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

22 Moc ułamkowa 1 t T = 1 P(kfo) [%] Sygnał piłokształtny kf05 10 15 20 25 30 35 75 80 85 90 95 100 kf0 P(kfo) [%] Sygnał piłokształtny T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

23 Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 90%)0.5 1 1.5 0.2 0.4 0.6 0.8 Aproksymacja sygnału piłokształtnego 2 harmoniczne 90% mocy sygnału T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

24 Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 95%)0.5 1 1.5 0.2 0.4 0.6 0.8 Aproksymacja sygnału piłokształtnego 4 harmoniczne 95% mocy sygnału T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

25 Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 99%)0.5 1 1.5 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 Aproksymacja sygnału piłokształtnego 16 harmonicznych 99% mocy sygnału T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

26 Efekt Gibbsa -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa Impuls prostokątny 11 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

27 Efekt Gibbsa -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa Impuls prostokątny 39 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

28 Efekt Gibbsa -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa Impuls prostokątny 79 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

29 Efekt Gibbsa Efekt Gibbsa występuje w punktach nieciągłości sygnału,a objawia się jako nadmierne oscylacje aproksymacji skończonym szeregiem Fouriera; poziom oscylacji jest niezależny od długości aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

30 Okna Fejera, Lanczosa... Funkcja okna (ang. window)jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa. W klasycznej aproksymacji jest stosowane okno prostokątne o wagach „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

31 Okna Fejera, Lanczosa... Okno prostokątne Okno Fejera Okno LanczosaOkno von Hanna, Hamminga, Kaisera... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

32 Okna Fejera, Lanczosa... -15 -10 -5 5 10 15 0.2 0.4 0.6 0.8 15 10 15 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Okna aproksymacji szeregiem Fouriera numery wyrazów szeregu Fouriera n waga wn okno prostokątne okno Fejera okno Lanczosa okno von Hanna podwójna szerokość okna 2*k + 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

33 Okna Fejera, Lanczosa... Impuls prostokątny 7 harmonicznych -0.5 0.50.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera okno Lanczosa Impuls prostokątny 11 harmonicznych Impuls prostokątny 7 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

34 Okna Fejera, Lanczosa... -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera okno Lanczosa Impuls prostokątny 15 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

35 Okna, efekt Gibbsa, błąd aproksymacji...Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału), ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego. Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym) stanowi najlepszą aproksymację sygnału, zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

36 Podsumowanie Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości. Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy sygnału (zbieżność średniokwadratowa). Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych składowych harmonicznych. Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału. W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa). Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa, ale kosztem dokładności aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir