1 Zbiory fraktalne I Automaty komórkowe

2 Trójkąt Pascala Reguły kolorowania:Na czarno – wszystkie nieparzyste liczby Na biało – wszystkie parzyste 1 7 6 5 4 3 2 10 15 21 35 20

3 Analiza współczynników dwumianowych

4 Analiza współczynników dwumianowychn 1 1 7 6 5 4 3 2 10 15 21 35 20 2 1 2 … …

5 Rekursywna definicja trójkąta PascalaParzyste Nieparzyste nieparzyste

6 Automaty komórkowe Związane z pierwszymi maszynami liczącymiGłównie rozwijali tacy naukowcy jak: Konrad Zuse, Stanisłam Ulam i John von Neumann a także Stephen Wolfram Są to układy sprzężenia zwrotnego. W każdym kroku zmieniają stany swoich komórek Niech będzie dana liczba stanów 0,1,…,p-1 to każda komórka może przyjąć jeden z p możliwych stanów. Stąd nazwa automaty p-stanowe

7 Automaty komórkowe - działanieDane wejściowe: Stan początkowy Zbiór reguł (praw).

8 Automaty komórkowe – jednowymiarowe dwustanoweMożna przedstawić w postaci nitki z komórkami. Stan zdefiniujemy jako zakolorowanie komórki na biało albo na czarno . Możemy ustalić reguły zmiany stanu wykorzystując dwie, trzy lub więcej komórek do wyznaczania stanu

9 Przykład Stan początkowy: Reguły przejścia: Rozwój warstw: 1

10 Automaty komórkowe dwuwymiarowe – Gra w życieAutor John Horton Conway Możliwe stany komórek: żywa (kolor czarny), martwa (kolor biały) Klasyczne zasady: Komórka zostaje żywa jeśli dwie lub trzy komórki spośród sąsiadów są żywe, Komórka umiera jeśli sąsiaduje z więcej jak trzema komórkami lub jeśli ma mniej niż dwóch sąsiadów Komórka ożywa jeśli ma dokładnie trzech żywych sąsiadów

11

12 Automaty komórkowe dwuwymiarowe – Gra w życieReguła jeden z ośmiu: Komórka ożywa tylko jeśli dokładnie jeden sąsiad jest żywy, w pozostałych przypadkach zostaje niezmieniona.

13 Automaty komórkowe dwuwymiarowe – Gra w życieReguła większości: Komórka ożywa lub zostaje żywa jeżeli pięć lub więcej komórek jest żywych w jej sąsiedztwie, w pozostałych przypadkach umiera lub pozostaje martwa

14 Bibliografia K. J. Falconer, Fractal geometry: mathematical foundations and applications, John Wiley & Sons Ltd., Chichester 1990; J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996; B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry Of Nature, W. H. Freeman and Company, New York 2000; T. Martyn, Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, Nakom Poznan 1996; H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.1, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1997; H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996; U. Kamińska, Zastosowanie metod losowych do tworzenia kształtów deterministycznych, Olsztyn 2002, praca licencjacka U. Żukowska, Zbiory fraktalne, gramatyki Lindenmayera zastosowania generatywne, Olsztyn 2004, praca magisterska,

15 KOniec Dziękuję za uwagę