1 ZŁOTA LICZBA

2 Ralph Nelson Elliot pisał:„Póżniej zdałem sobie sprawę, że podstawą moich odkryć było prawo natury znane ludziom, którzy projektowali wielką Piramidę w Gizie, zbudowaną być może aż 5000 lat temu…”

3 LICZBA PHI 21 LITERA W ALFABECIE GRECKIM, JUZ SAM ZNAK PODOBNO MA WIELKA MOC POZYTYWNA, JESLI JEST UMIESZCZONY W POMIESZCZENIU TAK JAK NA SLAJDZIE

4 Liczbami i ich własnościami zachwycali się ludzie od tysięcy lat, przypisując im nadprzyrodzone moce. Złota liczba znana jako: „boska proporcja” (boloński mnich Fra Luka Paciolo z Borgo – Divina Proportione- Wenecja 1509r) lub „szczęśliwy wymiar” w Chinach jeden z klejnotów geometrii- Kepler

5 Ciągła proporcja Niech c=a+b wtedy otrzymamy proporcję ciągłą „par excellence.” „ Stosunek sumy dwóch rozważanych wielkości do jednej z nich (większej) jest równy stosunkowi wielkości większej do mniejszej.”

6 ZŁOTY PODZIAŁ Złoty podział, podział harmoniczny-podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości całego odcinka do części dłuższej był taki sam, jak części dłuższej do części krótszej = liczbie phi

7 ZŁOTY PODZIAŁ Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych i muzycznych. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory. Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

8

9 WZORY Kwadrat złotej liczby: Odwrotność złotej liczby:

10 Inne wzory

11 ZŁOTY PROSTOKĄT Prostokąt którego boki pozostają w złotym stosunku.Po dorysowaniu kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta znowu mamy złoty prostokąt tylko większy.

12 KONSTRUKCJA ZŁOTEGO PROSTOKĄTA1) Rysujemy kwadrat. 2) Kwadrat dzielimy na dwa jednakowe prostokąty.

13 KONSTRUKCJA ZŁOTEGO PROSTOKĄTA3) W jednym prostokącie prowadzimy przekątną. 4) Kreślimy łuk o promieniu równym długości przekątnej prostokąta.

14 KONSTRUKCJA ZŁOTEGO PROSTOKĄTA5) Prowadzimy prostopadłą do punktu przecięcia łuku z linią podstawy. 1,00 1,618…

15 ZŁOTA SPIRALA kolejne punkty wyznaczające złoty podział leżą na spirali równokątnej

16 ZŁOTA WIZYTÓWKA Uwaga: wizytówki w kształcie złotego prostokąta mają magiczną moc. Jan Kowalski Ul.Złota 16/18 Zam. Partenon 1,00 1,618

17 ZŁOTA SPIRALA W PRZYRODZIE

18 ZŁOTY TRÓJKĄT Długość ramienia: długość podstawy=1,618 36o a 36o 36o b

19 PIĘCIOKĄT I PENTAGRAM |EC|:|DB|=1,618 E a A C D B

20 DWUNASTOŚCIAN Ściany są pięciokatami foremnymi

21 DWUDZIESTOŚCIAN W przekroju trzy złote prostokąty;

22 KANON POLIKLETA Poliklet pisał: „Piękno tkwi w proporcji nie żywiołów, lecz części ciała, to jest w proporcji palca do palca, palca do przegubu, jego do dłoni, jej do łokcia, łokcia do ramienia i wszystkich tych części jednych do drugich. Najdoskonalsza z proporcji- tzw. złota reguła – znajduje zastosowanie w konstrukcji świątyń, budowli a także posągów (np.. Apollo Belwederski, Wenus z Milo).

23

24 CZŁOWIEK WITRUWIAŃSKIRYSUNEK LEONARDO DA VINCI KANON PROPORCJI

25 APOLLO BELWEDERSKI POCIĘTY ZŁOCIŚCIE|AU|:|IU|=|IU|:|AI|= =|IU|:|IO|=|IO|:|OU|= =1,618…

26 PROFIL GŁOWY, RĘKA I DŁOŃ

27

28 PIRAMIDA w Gizie

29 ZŁOTA LICZBA W PIRAMIDZIE1 2

30 AKROPOL-PARTENON |AB|:AC|=1,618 A B C

31 MUZYKA A ZŁOTY PODZIAŁ W artykule zamieszczonym w roku 1996 w piśmie American Scientist Mike Kay pisze o tym, że : większość z sonat Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotej proporcji. Intuicja czy świadomość?? Inni badacze odnajdowali złote proporcje w : Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie. Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli.

32

33 ZŁOTY PODZIAŁ W FOTOGRAFII„Złoty podział płaszczyzny” czyli zasada umieszczania najważniejszego na zdjęciu obiektu na przecięciu prostych łączących punkty podziału boków prostokąta na trzy odcinki.

34 ZŁOTY PODZIAŁ W BOTANICEMiędzy każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia. |KM|:KL|=|KL|:|LM|= = 1,618…

35 „Spróbujmy uwolnić naszą wyobraźnię„Spróbujmy uwolnić naszą wyobraźnię. Pomyślmy o wszechświecie, o gwiazdozbiorach, galaktyce. Popatrzmy jak piękne są kształty wszystkich cudów natury: drzew, oceanów, kwiatów, roślin, zwierząt a nawet drobnoustrojów wdychanych z powietrzem. (..) Być może niektórzy z Was będą zaskoczeni dowiadując się, że we wszystkich tych zjawiskach jeden wspólny element – ciąg Fibonacciego.”

36 LEONARDO FIBONACCI Podróżnik i kupiec z PizyAutor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, Autor słynnego zadania o królikach. Leonardo Pisano

37 ZADANIE FIBONACIEGO Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, JEŚLI: każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, para staje się płodna po miesiącu, króliki nie zdychają?

38

39 CIĄG FIBONACCIEGO I ILORAZY KOLEJNYCH WYRAZÓW1 ILORAZ: a(n+1)/a(n) Stała Fibonacciego 1, 1, 2 2, 3 1, 5 1, 8 1, 13 1, 21 1, 34 1, 55 1, 89 1, 144 1, 233 1, 377 1, 610 1, 987 1, 1597 1, 2584 1, 4181 1, 6765 1,

40 Ilorazy kolejnych wyrazów

41 POSTAĆ REKURENCYJNA CIĄGU

42 LICZBY FIBONACCIEGO W PRZYRODZIEŁuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

43

44 DRZEWO FIBONACCIEGO

45 LITERATURA Złota liczba- Matila C.GhykaŚladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowal Księga liczb – John Conway i Richard Guy Złota liczba z Cabri II- Iwona Kusz, Bronisław Pabich I liczne strony internetowe

46 THE FLOWER OF LIFE